§24连续型随机变量及其分布

§2.4连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其概率密度常用的连续型随机变量及其分布小结练习(),(),()()d,,(),.xXFxfxxFxfttXfxX如果对于随机变量的分布函数存在非负函数使对于任意实数都有则称为连续型随机变量其中称为的概率密度函数简称概率密度2.4.1连续型随机变量及其概率密度定义xo)(xf()Fxx性质;0)()1(xf;1d)()2(xxf()dfxx证明非负性归一性xo)(xf1()F1.12(3){}PxXx;d)(21xxfxxxxfxd)(2证明.d)(21xxfxx1221{}()()PxXxFxFxxxfxd)(1xo)(xfS1x2x21()()FxFx).()(,)()4(xfxFxxf则有处连续在点若)(}{aFaXP,d)(xxfa}{1}{aXPaXP()d()dafxxfxx)(1aF()d()dafxxfxx()d.afxx同时得以下计算公式性质(1)、(2)是概率密度函数的充要性质.()xfxae设随机变量X的概率密度为说明求常数.a注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即.0}{aXP证明}{aXP.0由此可得xxfxaaxd)(lim0连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关}{bXaP}{bXaP}{bXaP}.{bXaP.0}{aXP若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有,0}{aXP若是不可能事件}{aX.0}{aXP若X为离散型随机变量,注意连续型离散型是不可能事件则不能确定}{aX}.271{)3(;)2(;)1(.,0,43,22,30,)(XPXkxxxkxxfX求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设解,1d)()1(xxf由例1,1d)22(d3043xxxkx得.61k解之得1(2),6k得由xxxfxFd)()(2023030,0,d,03,612()d(2)d32,34,6241,4.xxxxxxxFxxxxxxxxx}271{)3(XP)1()27(FF.4841.)3(};2{)2(;,)1(:.,1,,arcsin,,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX例2),(lim)(xFaFax故有解(1)因为X是连续型随机变量,,)(lim)(xFaFax,)(连续所以xFaaBAarcsinaaBAarcsin即BA2,0BA2,1.1B,21A解之得)2(aF0)2arcsin(π121aa6ππ121}2{)2(aXaP)(aF.32)()(xFxf的概率密度为随机变量X)3(.,0,,122其它axaxa0,,11()arcsin,,21,.xaxFxaxaaxa所以2.4.2常见连续型随机变量及其分布).,(~,),(,,0,,1)(baUXbaXbxaabxfX记为区间上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度设连续型随机变量定义1.均匀分布xo)(xfab概率密度函数图形均匀分布的意义,),(Xba变量上服从均匀分布的随机在区间.),(性是相同的内的可能中任意等长度的子区间落在区间baxo)(xfabab1lablpl.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab1例32~(1,6),10TUxTx若则方程有实根的概率是解T有概率密度1,16,()50,,tft其它:A事件210xTx有实根240T即由题意得(){2}PAPT6215dt4.5()1{2}1(2)PAPTF或2141.615设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的概率密度函数为.,0,52,31)(其他xxf设A表示“对X的观测值大于3”,解即A={X3}.例4}2{YP.2720因而有设Y表示3次独立观测中“观测值大于3”的次数,则.32,3~bY22322133C303322133C}3{)(XPAP由于,32d3153x1e,0,()0,0.0,.xθXxfxθxθX定义设连续型随机变量的概率密度为其中为常数则称服从参数为的指数分布2.指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数1e,0,()0,0.xθxFxx指数分布也可定义为,0~()0,0xexXfxx=若则称X服从参数为0的指数分布，其分布函数为()fxx01,0()0,0xexFxx＝例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率..0,0,0,e1)(20001xxxFxX的分布函数为解}1000{)1(XP}1000{1XP)1000(1F.607.0e21}10002000{)2(XXP}1000{}1000,2000{XPXXP}1000{}2000{XPXP}1000{1}2000{1XPXP)1000(1)2000(1FF.607.0e21指数分布的重要性质:“无记忆性”.3.正态分布正态分布也称为高斯(Gauss)分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位.正态分布是最常见最重要的一种分布，例如：测量误差，人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的产品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.22()221(),,2,(0),,,~(,).xXfxexμσσXμσXNμσ义设连续型随机变量的概率密度为其中为常数则称服从参数为的正态分布或高斯分布记为定(1)正态分布正态概率密度函数的几何特征;)1(对称曲线关于μx;π21)(,)2(σxfμx取得最大值时当(3);xμσ曲线在处有拐点(4);Ox曲线以轴为渐近线单峰对称(5),,(),;σμfxOx当固定改变的大小时图形的形状不变只是沿着轴作平移变换称为位置参数.,,,,,)(,,)7(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定σσxfσμ称为形状参数正态分布的分布函数tσxFxσμtdeπ21)(222)(正态分布下的概率计算tσxFxσμtdeπ21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数方法:转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx（2）标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为221()ed,.2πtxxtx标准正态分布的图形(x)是偶函数，其图形关于纵轴对称易见).(1)(xx一般的概率统计教材均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值.（见P211附表2）(0)0.5Φ(||)2()1PXaΦaxx且有~(0,1),{1.252}.XNPX已知求解}225.1{XP)25.1()2(8944.09772.0例6.0828.0附表2且有两个重要公式（3）正态分布的标准化(){}FxPXx{}XxP();x{}PaXb.bμaμσσ{}.bμaμPaXbσσ即{}aXbP(1)(2)2~(,),~(0,1).XμXNμσZNσ若则定理设X~N(1,4),求P(0X1.6).解1.6101(01.6)22PXΦΦ0.30.5ΦΦ0.3[10.5]ΦΦ0.6179[10.6915]0.3094附表2例7解一0-2(0)PX214222(24)PX2(0)0.320.8,(0)0.2.PX2~(2,),{24}0.3,{0}.XNPXPX设且求例8解二图解法0.2(0)0.2.PX由图-22460.050.10.150.20.3(1)所求概率为}89{XP)2(5.09089)2(19772.01.0228.0解例9?,99.080)2(.89,90)1().5.0,(~,)(,.o2oo至少为多少问低于的概率不至少为若要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd99.0}80{)2(XP99.0}80{1XP99.0)80(1F99.05.0801d,01.099.015.080d327.20.5-80d即.1635.81d（4）上分位点设X~N(0,1),01,称满足()PXz的点z为X的上分位点.z常用的几个数据645.105.0z96.1025.0z-3-2-11230.10.20.30.4(5)3原理设X~N(,2),求(||3).PX解(||3)(33)PXPX333323120.998710.9974.在一次试验中,X落入区间(3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间的可能性很小.例10说明已知测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米),问必须进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解107.5107.5(||10)1010PX0.251.750.25[11.75]0.5586.设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值并不超过0.9，则()1(10.5586)0.9nPA例113.n分布函数概率密度()()dxFxftt连续型随机变量☺小结☺几个常用的连续型随机变量均匀分布正态分布指数分布无记忆性P{cXd}两个参数的意义正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.正态分布是概率论中最重要的分布可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分