§42数学教育的典型理论与实践

1第二节数学教育的典型理论与实践①上面概要讨论了数学教育的目标，为了对国际数学教育的基本观点和做法有一个基本的了解，加深对本次课程改革的理解,下面择要介绍几种典型的数学教育理论与实践．4.2.1．弗赖登塔尔的“现实的数学教育”曾经是荷兰皇家科学院的院士和数学教育研究所所长，专长为李群和拓扑学的世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔（HansFreudenthal，1905～1990）认为：“数学概念、结构和思想用于组织来自具体世界以及来自数学的现象……依靠几何图形，人们会成功地组织现象世界的外形；数字构成量的现象，在高水平上，几何图形现象由几何结构和证明构成，‘数’由十进制系统构成，这样就进入到数学的最高水平：连续的抽象将看上去类似的数学现象归入某一个概念—群，域，拓扑空间，演绎，归纳等”②．数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”．数学教育要引导学生了解周围的世界，周围的世界应该是学生探索的源泉．而数学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开始，发现数学概念和解决实际问题，实际数学化．因此，在教学过程中，通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有的密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习数学的动力．根据弗赖登塔尔的观点，第一，数学教学内容来自于现实世界．应把那些最能反映现代生产，现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容；第二，数学教育的内容就不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系，这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．同时学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去；第三，社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专业所需的数学知识不尽相同．因而，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识．也就是说，不同的人有不同需要的“现实的数学”．数学教育所提供的内容应该是学生的各自的“数学现实”，即“学生自己的数学”．通过“现实的数学教学”，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化．弗赖登塔尔所提到的数学化指人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，即数学地组织现实世界的过程就是数学化．数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理．这是一种由浅人深，具有不同层次、不断发展的过程．一般来讲，数学化的对象，一是数学本身；二是现实客观事物．对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者使数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系；对客观世界的数学化，就是形成用数学知识和能力为解决实际问题而构造的数学模型等．数学的任何分支都是数学化的结果，各门科学的发展都有数学化的功劳．在数学教育过程中，让学生学会数学地思考与研究各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造数学模型，经历一个数学化的过程，这也就是理所当然的事了．①关于这方面的内容，本节只是作一个简单介绍．张奠宙、宋乃庆主编：《数学教育概论》（高等教育出版社2004年第一版），第六章（165～189页）有相当详细的介绍，有兴趣的读者可以进一步阅读．②徐斌艳：《数学教育展望》，华东师范大学出版社2001年11月第一版，第21页．2数学化是一个过程，是一个从问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程．传统数学课本是“教给”学生数学现成结果的教材，最容易忽略的就是过程．把数学化作为数学课本内容的一部分，是要使课本成为学生自己去“发现”一些已有数学结果的辅导书．通过一个充满探索的过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，从而达到素质教育的目的．即重现数学发现的过程而不单是只介绍数学科学的成果，这也是早年西南师范大学的陈重穆教授与宋乃庆教授所提倡的“淡化形式，注重实质”的数学教育改革思想．也是华东师范大学张奠宙教授所主张化数学的学术形态“冰冷的美丽”为数学的教学形态“火热的思考”的观点．4.2.2波利亚对数学教育的基本观点以《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》这三本书在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育产生重要影响而著名的美籍匈牙利数学家乔治．波利亚（GeorgePolya，1887～1985）在数学教育方面有很深的造诣，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席．波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注．在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”．这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维．教师要努力做的就是“教学生证明问题，甚至也教他们猜想问题”，启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力．他强调数学教育中培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质的重要性．波利亚强调，“学东西的最好途径是亲自去发现它”，最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”．只有学习者自己的思维活动起来了，他在学习中才会寻求到欢乐．有了成功的体验，他对数学知识本身才可能产生内在的兴趣．4.2.3建构主义的数学教育理论建构主义（constructivism）有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到2500多年前．现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义与发生认识论等思想，并在总结20世纪60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上演变和发展起来的．建构主义是认知学习理论的新发展，是目前日渐流行的学习理论．主要观点就是，知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的；有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系；学生是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展．一般而论，学习有两种方式：一种是复制式，另一种是建构式．传统的数学教学法认为，“学数学”就是学习以特殊方式书写的无意义的符号和规则．这些知识只需通过老师的讲授、学生练习，然后，运用测试手段来检查学生是否掌握就行了．这种教学法假定学生能在自己头脑中建立教师观念的完整的复制品，其教学程序就是：复习（介绍性地）、讲解新课、课堂练习（个别）．这种教学法受到建构主义者的批评，他们认为，传统教学方式不仅不能向学生提供使用高认知水平的技能，而且容易使学生产生误解．建构主义观的学者看来，数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，也不是对现实的纯粹客观的反映．任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征，它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设．某一社会发展阶段的科学知识固然包括真理性，但是并不意味着终极答案，随着社会的发3展，肯定还会有更真实的解释．因此，数学课本上的知识，也只是一种关于某种现象的较为可靠的解释或假设，并不是解释现实世界的“绝对参照”．真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程．否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习．因此，学生对知识的接收，只能由他自己来建构完成，以他们自己的经验为背景，来分析知识的合理性．在学习过程中，学生不仅理解新知识，而且对新知识进行分析、检验和批判．研究表明，“学生常常不按照教师的方式去做数学”．学习不是由教师把知识简单地传递给学生，学生不是简单被动地接收信息从而模仿和接受教师的策略和思维模式，而是根据自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，进行主动地选择、加工和处理，建构自己的理解的经验背景，从而建构知识的意义．这种建构意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作用过程而建构成的，是无法由他人来代替的．也就是说，他们要用自己现存知识去过滤和解释新信息，以致同化它．如果学生看不出教师所呈现的信息和他们已有的数学知识之间的联系，那么，教师的讲授如对牛弹琴．因此，为了适应建构主义指导下的数学教学，教师必须理解学生的数学现实、理解人类思考数学的现实．美国的数学教育，围绕“学生如何学得真正的数学”这一焦点产生过反复争执．经历了20世纪50～60年代的“新数学”运动、70年代“回到基础”，80年代后期以来的“问题解决”，但美国学生在世界上的排名始终不高．同时期发展心理学、认知心理学的成熟，不断影响教育理论与应用，于是1989年由NCTM（美国数学教师协会）编写出《中小学数学课程与评量标准》，以“建构主义”为整个运动画龙点睛，举起数学教育改革的大旗，希望借此提高学生的数学能力，让美国社会能迎向21世纪的未来世界．1994年，由美国教育部通过，正式成为数学教学的国家标准，把建构主义在数学教育中的应用推向高潮．该标准特别突出积极学习中孩子的重要性，孩子们应该有机会主动从事数学活动，形成数学概念．应该在与物理世界、物质世界和其他孩子进行交互作用时，根据自己的经验基础进行建构，构造、修正和整合各种观点．学校和教师则要努力理解学生活动与体验的过程和意义，向他们提供各种会生产真实数学问题的活动，给他们创造机会反省和再认自己已有的思维方式．一些心理学家还把建构主义的数学教育解释为，淡化直接的基于传递内容的数学教学，转向那种基于探索、促进意义和独立学习的学习活动，以及为学生创造反省的机会．建构主义的数学教育就是希望学生进行讨论、合作、反思、商讨和再商讨，形成数学概念与思想．应该说明，建构主义是认知结构发展一种观点，不是一种专门的教学理论．知识的建构是认知科学的一种理论，而且这种建构应该基于一定的知识储备和思维训练基础．对于学生特别是对于低年级学生，完全抛开知识的传授而仅仅依靠那种基于探索、促进意义和独立学习的学习活动，认为使用操作活动就代表在从事建构主义的教学，并不能保证学生会获得他们渴望得到的理解．4.2.4我国的“双基”数学教学我国的数学教育，一向是注重学生的“数学基础知识”和“数学基本技能”培养的“双基”教学．由于中国学生在“国际数学测试”中成绩优良，在国际数学奥林匹克竞赛中屡获佳绩，“双基”数学教育引起世人重视．“数学双基”的内涵有狭义和广义之分．狭义的“双基”是指记忆和掌握“基本数学公式和程式”、快速且准确地进行计算的“基本技能”以及能够逻辑地进行数学的“基本论证”．广义的则泛指和“创新”相对的那一部分．但是，通过考试能够进行检测、并且得以表现的“双基”，往往指狭义的部分．这里，“双基”主要强调运算的速度或解题的熟练程度．我国“双基”教学理论，主要在运算速度、知识的记忆、适度形式化的逻辑要求和重复训练四个方面4有显著的作用．因为“算”是中国传统数学的特征之一．我国数学教学，继承善于运算的传统，特别是强调运算的速度．速度保证了效率，为进一步学习和思维提供了充裕的时间，并且数学的经验性活动和反省抽象都需以操作运算为基础；强调必要的记忆，认为记忆是理解的基础．例如，俗话说：“熟读唐诗300首，不会吟诗也会吟”、“记得旧文章，便成新句子”．中国传统蒙学教材的《三字经》、《百家姓》、“四书”、“五经”、《声律启蒙》、《增广贤文》都是先背诵后理解．强调先记忆后理解似乎是我国传统教育的特点，但也包含记忆与理解的关系．如北宋张载就说过：“不记则思不起，但通贯得大原以后，书亦易记”．①数学教育则要求学生背诵“九九表”，在年幼时就完成．在学校数学教育中，则要求主要公式的记忆、知识点之间逻辑的链结、数学解题的程式的掌握、学解题套路的熟悉等；西方的数学教学，则比较不强调背诵“九九表”，而把精力花在“理解乘法是加法累计的结果”．结果是中国学生在数字计算上有明显的优势