§44随机解释变量问题.

§4.4随机解释变量问题一、随机解释变量问题及后果二、随机解释变量问题产生的原因三、工具变量法（解决方法）四、解释变量的内生性检验五、案例确定性的解释变量对于多元线性回归模型：tk221t++…++=uXXYktt如果解释变量X2,…Xk都是确定性变量，则最小二乘估计量是无偏的：-1ˆ()E[()]Eβ=X'XX'Y)]()[(1uXβX'X'XE])E[(1X'uX'Xβ])([X'uX'Xβ1E)(E)(1uX'X'Xβ如果存在随机性解释变量，上面最后一个等式还能成立吗？一、随机性解释变量对于多元线性回归模型：tk221t++…++=uXXYktt如果解释变量X2,…Xk存在随机性变量，则可能存在以下三种情况：（1)随机解释变量与扰动项相互独立。（2)随机解释变量与扰动项不相互独立，但不相关。（3)随机解释变量与扰动项项相关。OLS估计量是无偏的：（1）随机性解释变量与扰动项相互独立-1ˆ()E[()]Eβ=X'XX'Y)]()[(1uXβX'X'XE])E[(1X'uX'Xβ])([X'uX'Xβ1E)(]E)([1uX'X'XEβE[f(X)u]=E[f(X)]E(u)E(Xu)=E(X)E(u)因此，E[(X’X)-1X’u]=E[(X’X)-1X’]E(u)=0（2）随机性解释变量与扰动项不独立，也不相关E(Xu)=E(Xu)-E(u)=E[(X-)u]=Cov(X,u)≠0E(u)=0，E(X)=但是，E[(X’X)-1X’u]=E[(X’X)-1]E(X’u)=0上面等式成立吗，为什么？因此，OLS估计量是有偏的：-1ˆ()E[()]Eβ=X'XX'Y])E[(1X'uX'Xβ此时，OLS估计量是一致的，即随着样本容量N，OLS估计量收敛于真实值。ˆˆlimNP11221limlim1limttNttNttNPxuxuNPxPxN11(,)()tttCovXuVarX11ˆlimNP以一元回归模型为例：111222()ˆttttttttttxyxxuxuxxx21limtttNxuxP11(,)()tttCovXuVarXˆlimNP因此，最小二乘估计量为有偏且不一致的估计量。（3）随机性解释变量与扰动项相关Cov(X,u)0二、解释变量与扰动项相关的原因解释变量缺失研究工人工资收入(wage)时，比较重要的解释变量是工作经验(exper)、教育水平(edu)和个人能力(abi)等，但由于abi不可观测，通常被归入扰动项：Log(Wagei)=0+1experi+2experi2+3edui+4abii+vi=0+1experi+2experi2+3edui+ui能力同时对教育水平也有着重要影响，因此，解释变量edu与扰动项u=4abi+v是相关的，测量误差y=0+1x+u对于一元回归模型：真值x是未知的，通常只能用其观测值z替代，假设两者之间存在测量误差v：z=x+v实际中使用观测值z建模时，模型变换为：y=0+1x+u=0+1z+(u-1v)y=0+1z+=(u-1v)解释变量z=x+v与扰动项=(u-1v)是相关的。联立方程模型……….当解释变量与扰动项相关时，可以利用工具变量来得到一致估计量。工具变量：在估计过程中作为工具的变量，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。三、两阶段最小二乘法（2SLS）——解释变量与扰动项相关的解决办法选取的工具变量需满足的条件：（1）与所替代的随机解释变量高度相关；（2）与随机误差项不相关。对于与扰动项不相关的解释变量，工具变量就是其本身。工具变量的个数（l）应该大于或等于模型中解释变量的个数（k），即lk。也就是说，对于与扰动项相关的解释变量，至少要为每个变量寻找一个工具变量。Step1：将每个解释变量，即1,X2,X3,Xk分别对l个工具变量进行回归，Z=(1Z2Z3Zl)，得到拟合值：1,2SLS的步骤tk221t++…++=uXXYktt对于多元回归模型：假设工具变量为Z=(1Z2Z3Zl)，对于那些与u不相关的解释变量，例如常数项，工具变量Zi和解释变量Xi是相同的。+…++=ˆ221lltjZZXˆ2X,,ˆkXStep2：将解释变量y对这些拟合值进行回归，得到的结果就是2SLSt221+ˆ+…+ˆ+=uXXYktkttYXXXSLS'1'2ˆ)ˆˆ(例子利用428个正在工作的已婚妇女的样本数据估计工资方程：Log(Wagei)=0+1experi+2experi2+3edui+ui直接进行OLS回归，得到：Log(Wagei)=-0.522+0.04experi-0.0008experi2+0.11edui+ei(-2.63)(3.15)(-0.206)(7.60)R2=0.156F=26.286DW=1.96这个结果有意义吗？？因为edu与u相关，OLS估计量是有偏的和不一致的，因此虽然样本容量很大，但估计结果依然是不可靠的。选择工具变量：对于常数项、exper和exper2，与扰动项不相关，选择其自身作为工具变量。对于edu，选择mothedu、fathedu和husedu，即其母亲、父亲和丈夫的教育水平作为工具变量。工具变量为constant、exper、exper2、mothedu、fathedu和husedu，个数l=6k=4。母亲、父亲和丈夫的教育水平应该与其自身的教育水平高度相关，但与其能力无关，因而与扰动项u不相关，满足工具变量的条件。Log(Wagei)=-0.187+0.043experi-0.00086experi2+0.08edui+ei(0.285)(0.013)(0.0004)(0.022)括号内为标准差。最优工作经验为0.043/(2*0.00086)=25年ie+udˆ0.08e+…erpˆ0.00086ex-erpˆ0.043ex+-0.187=)Log(wagei2iii四、内生性检验(Hausmantest)对于多元回归模型：tk221t++…++=uXXYktt假设工具变量为Z=(1Z2Z3Zl)。YXXXSLS'1'2ˆ)ˆˆ(2SLS估计量为：YXXXLS'1'O)(OLS估计量为：H0:01lim）（’uXnpiH1:01lim）（’uXnpi假定关注Xj的内生性，其他变量都是外生的。如果Xj也是外生的，则两种估计量都是一致的；但如果Xj是内生的，则OLS估计量不一致，而2SLS估计量是一致的。因而，零假设下两个估计量之差应该收敛于零，令：OLSSLSd2Hausman证明：)1,0(N~).(.adesd)1(~)(Var22add实际应用中，通常使用另一种等价形式进行内生性检验：第1步：将Xj对l个工具变量进行回归，Z=(1Z2Z3Zl)，得到拟合值：+…++=ˆ221lltjZZX第2步：引入第1步的回归残差加入原始模型作为解释变量，估计如下模型：其中，第3步：对进行显著性检验：如果显著，拒绝原假设，Xj是内生的；如果不显著，接受原假设，Xj是外生的；t221+ˆ+…++=evXXYtktktt+…++-ˆˆ221lltjtZZXv注意：1.如果模型可能存在异方差，可以使用White异方差一致估计（或称为稳健估计）2.如果要对多个变量的内生性进行检验，可以分别对每一个待检验变量做第1步的回归，得到拟合值。将这些拟合值全部引入第2步的回归模型中，检验其系数的联合显著性。五、案例——中国居民人均消费函数例4.4.1在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：GDPPCONSP10由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此，容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关），OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项）。OLS估计结果：(13.51)(53.47)R2=0.9927F=2859.23DW=0.5503SSR=23240.7如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：(14.84)(56.04)R2=0.9937F=3140.58DW=0.6691SSR=18366.5