《复变函数》作业参考答案

复变函数论第1页共4页《复变函数》作业参考答案一．判断题1.对；2．对；3．对；；4．对；5．对；6．对；7．对；8．对；9．对；10错；11．对；12．对13．对14．对；15．对；16．对；17．错；18．对；19．错；20．对；21．对；22．错；23．对；24．错。25、错26、对27、错28、错29、对30、对31、对32、错33、对34、对35、对36、对37、对38、对二．填空题1．i2；2．2)1(1z；3．0)!1(200)0,(Resnninzenz；4．1012)(1||00nnizzdzzzn；5．整函数；6．亚纯函数。7.iz；8．zz22cossin19．1；10．iiz,11．0)!1(200)0,(Resnninzenz；12．ieznn1lim；13．2；14．),sin(1()2()(20200020yxiyxxzf15．nzzznn...lim2116．0；17、实部233aba，虚部bab233。18.内点集合2|1|0z，边界点集合是2|1|,1zz。19.解析区域是2iz，22246)14(12441024)('zzzzzzf20.模：2，幅角：,452k复变函数论第2页共4页21.收敛区域是：1||z，和函数是：11)(2zzf。22.0z是函数zzsin的可去极点，而11)(3zzf在1z处有1阶极点。23.0，0．24..),(),(,),(),(xyxvyyxuyyxvxyxu三．计算题1．592.))(9(22||2izzzzidzizzz2．求;1)1)0)4)(1(21sin3||1||1zzzzzdzizdze。3．1个。4．0cos11||zdzz5．11221112/11211121)2)(1(1)(nnnnnzzzzzzzzzf。6．1个。7．)173(2173)(22zzidzzfC，),76(2)('zizf.1226()1('iif8．0)),((Rezfs9．2222|1||1|1|||1|)1)(1(11zzzzzzzzzz；10．4coscos2)4sin()4cos(4sin4cos2121nninniniinn11．062limnni12．...)!12()2()1(...!3)2(2)2sin(1233333nzzzznn；13．...)!12()1(...!31sin363363nzzzzznn；复变函数论第3页共4页14.izzidzzzzdzzzznzz.45|))2((221)2/1()2/(21)2)(12(2/11||1||；15..22111211211111)2)(1(1)(011nnnnnzzzzzzzzzf16.因为孤立奇点0z是可去奇点，所以留数等于0。17.先将D保形变为上半单位圆，再变为第一象限，最后变为上半平面：21zz，11211zzz，22zw，所以.)11(222zzw18．592.))(9(22||2izzzzidzizzz19．求;1)1)0)4)(1(21sin3||1||1zzzzzdzizdze。20．1个。21.先将D平移的保形变为带形区域：}2Im0:{,211zzDizz，再将1D保形变为带形区域：}Im0:{,2212zzDzz最后利用指数函数2zew保形变为上半平面，所以.)2(2izew四．证明题1．若函数f(z)在z0处可导，则f(z)在z0连续。证明：直接利用定义。2．若数列}{nz收敛，则}{Renz与}{Imnz都收敛。证明：利用不等式:202000|||||||,|yyxxyyxxnnnn即可。3．若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则)(0)(Czzf。证明：由于整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则整函数f(z)是一个有界整函数，由刘维尔定理知道，)(0)(Czzf。4．证明方程0364zz在2||1z内仅有3个根。证明：在1||z上，由|6||)(|64|3||)(|4zzgzzf得，0364zz在单位圆内只有一个根，在利用在2||z上，由|36||)(||3||6|15162|||)(|44zzgzzzf得，0364zz在复变函数论第4页共4页2||z有4个根，所以方程0364zz在2||1z内仅有3个根。5.证明：由于),(yxu等于常数，而函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析，所以实部是可微的，并且有,0),(,0),(yyxuxyxu再利用柯西-黎曼条件，得,0),(,0),(yyxvxyxv从而其虚部也是常数，故函数恒等于常数。6.证明：由于),(yxu等于常数，而函数),(),()(yxivyxuzf在区域D内解析，所以虚部是可微的，并且有,0),(,0),(yyxvxyxv再利用柯西-黎曼条件，得,0),(),(,0),(),(xyxvyyxuyyxvxyxu从而其实部也是常数，故函数恒等于常数。