《多元函数微积分》习题解答第三章

习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）Ldxyx,)(22L为抛物线xy2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）,)()(22LyxdyyxdxyxL为按逆时针方向饶行的圆222ayx；（3）Lxdzzdyydx,L为螺旋线btztaytax,sin,cos上由t=0到t=2的有向弧段;（4）Ldzyxydyxdx,)1(L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）,LdlF其中),,(xyFL为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）LdlF,其中2221yxxeyeF，L按逆时针方向饶行的圆taytaxsin,cos.解（1）化为对x的定积分，L:xy2，x从0到2，所以Ldxyx)(22=1556)5131()(20534202xxdxxx（2）圆周的参数方程为：taytaxsin,cos)20(tLyxdyyxdxyx22)()(=202)sin()sincos()cos()sincos(1tadtatatadtataa=dttatatatatataa])cos)(sincos()sin)(sincos[(1202=212022dtaa（3）L的参数方程为：btztaytax,sin,cos，t从0到2，所以Lxdzzdyydx=)(cos)sin()cos(sin20tbtdatabtdtatda=22022)coscossin(adttabtabtta（4）直线的参数方程为：)10(31,21,1ttztytxdtdzdtdydtdx3,2,代入Ldzyxydyxdx)1(=10)]1211(3)21(2)1[(dttttt=1376)146(10dtt（5）三条直线段的方程分别为y=0,x从0到1；x=1,y从0到1；y=x,x从1到0.所以LdlF=Lxdyydx0101101xdxxdxdy=021)sin(cos)cos(sin)6(202202222022dttadatatadatadyyxxdxyxydlFL2、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周222Ryx按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为dxFWLL:222Ryx,x从R变到0，于是，w=RFdxFdxFRL03、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆12222byax逆时针方向绕行一周，力F所作的功.解：),(yxF椭圆12222byax的参数方程为：tbytaxsin,cos，t从0到2所以，02sin2cos)sin(sin)cos(cos2022202220tbtatdbtbtdatadlFWL4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,cctzbtyatx从点),,(cba移动到)2,2,2(cba时，该场力所作的功.解：),,(222222222zyxzzyxyzyxxzkF直线的参数方程为：)0(,,cctzbtyatx，t从1到2所以，ccbakdttctbtatcktctbtadlFWL2ln))(22221222222222习题3-2答案1、解：记S在x0一侧为1S，在x0一侧为2S，在z=h上的部分为3S，在z=0上的部分为4S，在y0一侧为5S，在y0一侧为6S，则由题有rrrrhDDDSSsssshrdyyrhdzyrdydydzyrdydzyryyyrdydzyryyyrzdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydzxdydzxdydzxdydzxdydzQyzyzyz22202222222222221222)(21123422341234hrdxdyhzdxdyzdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydzzdxdyzdxdyzdxdyzdxdyQxyxyDDSSssss同理可得：6523SShrydzdxQ2、解：（1）由题SyxRzS,222：在xoy面上的投影区域222:RyxDxy，7202570225202200222252222222222221052cossin42sin41sincosRtdttRdrrRrdrrRrddxdyyxRyxdxdyyxRyxzdxdyyxRRDDSxyxy（2）221202222222eedreddxdyyxedxdyyxerDyxSzxy（3）将S分成1s和2s，其中1S：z=h，222hyx取上侧，2s：22yxz，hz0x0取下侧则ssssssDdxdyyxyxyxyxyxxyxydxdyyxxy1211200)]()()[(,0)(22222222(4)记S在z=0上的部分为1S，在x=0上的部分为2S,在y=0上的部分为3S,在122yx上的部分为4S,在22yxz上的部分为5S.有0321222222SSSydzdxxxzdydzzdxdyyydzdxxxzdydzzdxdyyydzdxxxzdydzzdxdyy.1631111102222102222224dzxxxzxdxdxdzxxxzxydzdxxxzdydzzdxdyyxzDS23213hrQQQQ81616316)]cos1(cos3cos2[sincossin3cos2sin32222010224451022445202244222222225原式drddrrddxdyyxxydxdyyyxxyxxyxyydzdxxxzdydzzdxdyyxyxyDDS3、解：（1）,33233yxz35211cos,521cos,531cos,3651,33,2322222222yzxzyzxzyzyzxzxzyzxzyzxz原式=SSdSRQPdSRQP5325253coscoscos.（2）,2,2yyzxxz222222222222441111cos44121cos44121cosyxyzxzyxyyzxzyzyxxyzxzxz原式=SSdSyxRyQxPdSRQP2244122coscoscos§3-3格林公式及其应用1．(1)yexQyxP,2，1,1xQyp，abdxdyyPxQD2)(故原式(2))2(,)1(yxQyxP,yxQxyp2,1,yDdxyxdydxdyyPxQ101061)1()(故原式（3）)(,)(222yxQyxP，xxQyxyp2),(21010013012311)3()24()(yDydxyxdydyydxdyyPxQ故原式（4）)sin(),cos1(yyeQyePxx，)sin(,sinyyexQyeypxx而在以)0,(为起点)0,0(为终点的直线上)0,0()0,(0)sin()cos1(dyyyedxyexx所以原式)1(51]202sin22cos41[sin21]sin)sin([0002sin0eexexedxexydydxedxdyyeyyexxxDxxxxx2．4213456,4yyxQxyxP，222)1(6,12xyxQxyyp因为积分与路径无关，所以xQyp,得3)2,1()0,0(102042442234579)56()56()4(dyyydxxdyyyxdxxyx3.(1)yxQyxp2,2xQyp2，是二元函数u(x,y)(的全微分.yxpxu2由，得)(221)2(),(2yxyxdxyxyxuyyyxQyuyxyu)('2)('2得，及由Cyy221)(，故Cyxyxyxu2221221),((2)xyQxyxp2cos3cos3,cos3sinsin4xQyxxyp3coscossin12，是二元函数u(x,y)(的全微分.yxpxu3sin2sin2由，得)(2cos3sin)3sin2sin2(),(yxydxyxyxu0)('2cos3cos3)('2cos3cos3yxyQyuyxyyu得，及由Cy)(，故Cxyyxu2cos3sin),((3)yxxyQxyyxpsincos2,sincos222xQxyyxypsin2sin2，是二元函数u(x,y)(的全微分.xyyxpxusincos22由，得)(coscos)sincos2(),(222yxyyxdxxyyxyxu0)('sincos2)('cos2sin22yyxxyQyuyxyyxyu得，及由Cy)(，故Cxyyxyxucoscos),(22(4)xQxyp1,2xQxyp21，是二元函数u(x,y)(的全微分.2xypxu由，得)(),(2yxydxxyyxu0)('1)('1yxQyuyxyu得，及由Cy)(，故Cxyyxu),(4．（1）222246,63yyxQxyxPxQxyyP12,故为全微分方程。)(3)63(),(,632232222yyxxdxxyxyxuxyxPxu得由2'22'24)(46)(6yyyyxQyuyyxyu得及由，故Cyy334)(通解为Cyyxx3223343（2）yxeQePyy2,xQeyPy,故为全微分方程。)(),(,yxedxeyxuePxuyyy得由yyyxeQyuyxeyuyy2)(2)(''得及由，故Cyy2)(通解为Cyx