《实变函数》作业参考答案

实变函数第1页共3页《实变函数》作业参考答案一．判断题1．对；2．错；3．对；4．对；5．错；6．对；7．错；8．对；9．对；10.对；11.对；12.错。二．1．证明：).()(BABAII证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。2．试找出使)1,0(和]1,0[之间一一对应的一种方法。证明：令)1,0(,...},,{321xxx，做)(xf，使得2,01)(212nxxxxxxxxfnn，其它处，.)(xxf三．证明题1.设)(xfn是E上几乎处处有限的可测函数列，mE，而)(xfn几乎处处收敛于有限函数)(xf，则对任意的0，存在常数c与可测集EE0，)\(0EEm，使在0E上，对一切n，有cxf|)(|。证明：直接利用鲁津定理。2.证明：证明})(|{axfxCG是开集，事实上，对任意CGx，则axf)(，由连续函数的局部保号性，存在0，使得对一切的),(xBt，有atf)(，即CGxB),(，所以x是内点，从而})(|{axfxCG是开集。3.设)(xf在],[baE可积，则对任何0，必存在E上的连续函数)(xg，使得dxxgxfba|)()(|证明：教材第121页例1。4.设在E上)()(xfxfn，且)()(xgxfn几乎处处于E上成立，,...,2,1n试证)()(xgxf在E上几乎处处成立。证明：利用黎次定理，由在E上)()(xfxfn，得到存在子列)(xfin使得)()(limxfxfini几乎处处成立，在利用控制性)()(xgxfn，所以)()(xgxf在E上几乎处处成立。实变函数第2页共3页5.设nEEE,...,,21是]1,0[的n可测子集，假定]1,0[中的任一点至少属于这n个集合中的q个，证明：必有一个集，它的测度不小于nq。证明：令niEixf1)(，则qdxxf)(10，同时nmEmEmEdxxfq...)(2110,在利用反证法，若对所有ni,...,2,1，有nqmEi，则qmEmEmEqn...21，矛盾。6.设在Cantor集0P上定义函数0)(xf，而在0P的余集中长为n31的构成区间上定义,...)2,1(,)(nnxf。试证)(xf在]1,0[上可积，并求出积分值。证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），110.332)(nnnndxxf7.设在E上)()(xfxfn，且)()(1xfxfnn几乎处处成立，,...,2,1n则几乎处处有)(xfn收敛于)(xf。证明：利用黎次定理，由在E上)()(xfxfn，得到存在子列)(xfin使得)()(limxfxfini几乎处处成立，在利用单调性)()(1xfxfnn，所以几乎处处有)(xfn收敛于)(xf。8.试从...)()1(1132xxxx，10x，证明...41312112ln.证明：先验证逐项积分的条件成立，所以...4131211)21121()()(12ln001012210012210nnnnnnnnndxxxdxxxxdx9.证明：.1)1(lim),0(1nnntntdt证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以.1)1(lim0),0(1xnntnedxtdxn10．设0mE，)(xf在E上可积。如果对于任何有界可测函数)(x，都有实变函数第3页共3页,0)()(Edxxxf证明：0)(xf在E上几乎处处成立。证明：取0)(10)(1)(xfxfx，则有,0|)(|Edxxf所以0|)(|xf在E上几乎处处成立，从而0)(xf在E上几乎处处成立。11.设}{nf为E上非负可积函数列，若,0)(limEnndxxf证明：0)(Enxf。证明：反证法，先写出0)(Enxf的否定定义，再证明结论成立。12.证明：)1(,)(11ln11210pnpdxxxxnp。证明：利用...1112xxx，验证逐项积分的条件成立，所以1211011010)(11ln11ln1nnpnnpnpnpdxxxdxxnxdxxxx13．设E是直线上的一个有界集合，0*Em，则对任意小于Em*的正数，存在E的子集1E，使得.*1cEm证明：令]),[(*)(xaEmxf，则)(xf连续单调，且Embfaf*)(.0)(，由连续函数的介值性，存在],[bax，使得对任意小于Em*的正数c，存在E的子集1E，使得.*)(1cEmxf