《常微分方程》课程试题(A卷)答案

1中国海洋大学2008-2009学年第一学期期末考试试卷（Ａ）答案一、选择题1、B2、B3、B4、C5、A二、判断题1、2、√3、√4、5、三、填空题1、0))(,),('),(,()(xxxxFn；)(xy．2、)(xygdxdy;)(ug是u的连续.3、2yx4、tctceecxtt22sin22cos32211,其中nc,,c1是任意常数.5、n个线性无关的解;无穷多四、简答题1、解：由于11)(1xxNyMN，故原方程有积分因子111xdxeux，求得通解为cxxyx45254)1(20.22、证明：考查函数项级数hxxxxyxyxykkk00110)()()((1)其部分和是为)()()()()(1101xyxyxyxyxSykkkn，因此，只须证明函数项级数(1)在hxxx00上一致收敛．由)(xyn的表示式xxxxMdyfxyxy0)(),()()(0001.由李普希兹条件及上式，有xxyfyfxyxy0))(,())(,()()(0112xxxxdxMLdyyL00)()()(00120)(!2xxML假设对于正整数n，有不等式nnnnxxnMLxyxy)(!)()(011.则由李普希兹条件，当hxxx00时，有xxnnnndyfyfxyxy0))(,())(,()()(11xxnndyfyf0))(,())(,(1xxnnxxnndxnMLdyy00)(!)()(0110)()!1(nnxxnML由数学归纳法知，对一切正整数K，皆有kkkkxxKMLxyxy)(!)()(011hxxx00.又由于hxxx00，有hxx0，从而3),,K(h!KML)x(y)x(yKkkk32111(2)(2)式右端恰是收敛的正项级数的一般项，由M一判别法，函数项级数(1)在hxxx00上一致收收敛，其和函数记为)(xy.故函数序列)(xyn在hxxx00上一致收敛.类似地可以证明)(xyn在00xxhx上一致收敛.3、解：(1)求02y'y''y的通解．由特征方程022得特征根为21，12，其通解为xxecec221．(2)用待定系数法求非齐方程的特解．设xBxAy2sin2cos，则xBxAdxyd2cos22sin2，xBxAdxyd2sin42cos422，代入原方程，比较两端x2sin，x2cos系数，得026AB，126BA，所以121A，41B．故非齐通解为xxececxyxx2sin412cos121)(221．4、证明:令),,2,1()()()(1nitxtxtxnii③则③是对应齐线性方程组的解组，并且可以证明是线性无关的．事实上，假设③是线性相关的，则存在一组不全为零的常数)n,,,i(ci210)()()(2211txctxctxcnn即0)()()()()(1212211txccctxctxctxcnnnn．这表明有一组不全为零的常数)(,,,,21121nnnccccccc使上式成立，这与)(,),(),(21txtxtxn是线性无关的题设矛盾，因此③是线性无关的．4对方程组的任一解)(tx，)()(1txtxn必是对应齐线性方程组的解．又因为③是对应齐线性方程组的基本解组，必存在一组常数na,,a,a21，使得)()()()()(22111txatxatxatxtxnnn即)()1()()()()(1212211txaaatxatxatxatxnnnn，亦即nnaaaa2111，故)()()()(112211txatxatxatxnn．反之，若1121naaa，对于1211211)()()1()()(niiininiiitxatxtxatx1211)()()(niiitxtxatx因为)n,,i)(t(x)t(xi121是对应齐线性方程组的解，121)()(niiitxtxa也是对应齐线性方程组的解，而)(1tx是的方程组的一个解，故111211)()()()()(niiiniiitxatxtxatxtx是方程组的解．五、综合题1、解：火车的质量是，gpm，速度为dtdsv，加速度为22dtsd，根据牛顿第二定律，有dtdsbaFdtsdgp22．整理，得到路程s应满足的二阶常系数非齐线性方程gpaFpbgdtsd22．可求得方程通解5tpaF)tpbgexp(ccs21．代入初始条件：当0t时，0s，0dtds，得gbaFpc21)(，gbaFpc22)(．故火车的运动规律为)exp(1)(2tpbggbaFpbaFs．２、解：A的特征值为11，22，33，求对应的齐次方程组的基解矩阵为ttttttttteeeeeeeeet3232329432)(，有13228615621)0(1得)0()(exp1tAtttttttttttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee3232323232323232329827325182463491656126238526621故所求的初值问题解为10)(])exp[(])0exp[()(sfAstAttx＝ttttttttteeeteeeeteeeete32323291672385243241．