《平行线等分线段定理》教学设计

ABCDNMBCDNPEGF《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册§4.9平行线等分线段定理（课本P176~P178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？2．折法：（教师演示，学生动手）·先将矩形（ABCD）纸对折，得折痕MN（如图1）；·再把B点叠在折痕MN上，得到Rt△BEP（如图2）；·最后沿EP折叠，便可得到（如图1）等边△BEF（如图2）。（如图2）3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理1．复习提问（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。2．操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。3．引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。4．验证猜想教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。三、归纳探究，证明定理1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？已知：直线a//b//c，AB=BC（如图1）求证：A'B'=B'C'。2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？（2）四边形ACC'A'是什么四边形？（3）在梯形中常作什么样的辅助线？3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。证法一：（略）参见课本P176的证法。证法二：过A'、B'点作AC的平行线，分别交直线b、c于D、E（如图2）。（以下证明略）〖注1〗结论与直线A'C'的位置无关；〖注2〗对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。4．定理：推理形式：∵a//b//c，AB=BC，∴A'B'=B'C'。四、图形变式，引出推论1．隐线变式，得推论1在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA'//BB'//CC'。结论：A'B'=B'C'。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。（图3）（图4）（图5）（图6）2．运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C'平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC'中的条件、结论各是什么？条件：在△ACC'中，BB'//CC'，AB=BC。结论：A'B'=B'C'。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3．变换图形，深化理解如果将直线A'C'继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？cbaCBAA'B'C'（图1）cbaCBAA'B'C'（图2）DE平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。cbaBC'CAB'A'cbaBC'CAB'A'cbaBC'CAB'A'BC'CAB'A'五、运用新知，解决问题1．应用定理，等分线段（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？（图7）已知：线段AB（如图7）。求作：线段AB的三等分点。作法：（略。见图8）（师生同步完成作图过程）〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图8）2．应用推论，分解图形例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，CM、AM分别交BD于E、F。求证：BE=EF=FD。分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？（图9）（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？证明：（略。过程由学生自己完成）例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足分别为A'、B'、C'、D'、O'。求证：A'D'=B'C'。分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？（图10）（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？证明：（略。过程由学生自己完成）思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1．理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2．掌握两个推论推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3．了解三种思想化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。ABCABDEFHGaABCDOA'D'O'B'C'ABCDNMFE七、达标检测，回授效果1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，EF//BC交AB于F，FG//BD交AD于G。求证：AG=DG。2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E，（图11）EF//AB交BC于F。（1）求证：BF=CF；（2）图中与DE相等的线段有；（3）图中与EF相等的线段有；（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是，数量关系是。（图12）八、课后作业，巩固新知1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC于F。求证：FC=2AF。（图13）附：板书设计§4．9平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。∵直线a//b//c，AB=BC∴A'B'=B'C'。推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。在梯形ACC'A'中，∵AB=BC，AA'//BB'//CC'。∴A'B'=B'C'。推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。在△ACC'中，∵AB=BC，BB'//CC'.∴A'B'=B'C'。ABCDGFEABCDFEcbaCBAA'B'C'BC'CAB'BC'CAB'A'ABCDEF一、动手操作二、例题研究例1．已知：线段AB（如图）。求作：线段AB的三等分点。例2．已知：如图，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，CM、AM分别交BD于E、F。求证：BE=EF=FD。例3．已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足分别为A'、B'、C'、D'、O'。求证：A'D'=B'C'。ABABCDNMFEaABCDOA'D'O'B'C'三、达标检测1．已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，EF//BC交AB于F，FG//BD交AD于G。求证：AG=DG。2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E，EF//AB交BC于F。（1）求证：BF=CF；（2）图中与DE相等的线段有；（3）图中与EF相等的线段有；（4）连结DF，则DF与AC的位置关系是，数量关系是。四、课后作业1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2．已知：如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC于F。求证：FC=2AF。ABCDGFEABCDFEABCDEF