《两角和与差的余弦》教学设计与实录

作者简介：高巧萍（1979---），女，江苏泰州人，硕士，讲师.研究方向：中小学数学教育.联系地址：江苏省教育学院如皋分院数理系.电话;13773816113.E-mail：[e-mail]以退为进，水到渠成——《两角和与差的余弦》教学设计与实录高巧萍江苏省教育学院如皋分院数理系江苏如皋226500以退为进本是兵家术语，殊途同归，教学也然.大部分教师追求于境界的集大成，执意“立马解谜”，能操控课堂游刃有余，然而教学是门人学的艺术，欲速则不达.若我们在进行教学活动时采取迂回战术：以退为进，退到学生的角度去组织我们的教学，则学生在行进的过程中知识与能力的获得自然会“水到渠成”.立足于这样的理念，在为全国高师数学教育研究会小教培养工作委员会的2012年的年会准备活动中笔者执教了《两角和与差的余弦》一课，得到了听课专家的好评与肯定.现以叙事的方式把这节课的设计与实录整理成文，供探讨与交流.1、过程设计与实录1、1提出问题大数学家华罗庚曾说过：“先足够地退，退到我们容易看清楚问题的地方，看透了，钻深了，然后再上去.”受此启发，本课的引入我并没有直接从教材问题出发，而是退回到问题的原始状态，激发学生的求知欲望.师：前面我们学习了任意三角函数，同角三角函数关系及诱导公式,已会利用计算器或数学用表求任意角的三角函数值.另外我们还学习了特殊角如000300、45、6的三角函数值,那么能否不查表求出一些非特殊角的三角函数值吗?比如：000sin75=cos15=tan105=？？？【本课是两角和与差的三角函数这一单元的起始课，将两角和与差的正弦、余弦、正切作为一个整体来研究，便于让学生从宏观把握知识，培养学生的整体意识和普遍联系观点.另外求值问题是探求公式的内在动力，给出015、075、0105三个角为学生抽象归纳出一般性问题服务.】（学生很活跃，纷纷举手.）生A：0000021sin75sin(4530)sin45sin302.生B：0000023cos15cos(4530)cos45cos302.2生C：00000tan105tan(6045)tan60tan4531.生D（一脸疑惑）：我算的答案和生B不一样.师（鼓励）：你怎么算的，结果是什么？生D：0000012cos15cos6045)cos60cos45=2（.师（面向所有学生）：这是怎么回事？【一语激起千层浪，学生意识到算法应该有问题，于是展开热烈讨论，很快发现所有结果都是错误的.】21sin45sin3012,而00sin751.0023cos45cos3002;0012cos60cos45=02,而0cos150.00tan60tan45310,而0tan1050.师：很遗憾，我们的猜想失败了.但015、075、0105的三角函数值与000300、45、6这些特殊角的函数值应该存在着某种联系，那么00sin(4530)、00cos(4530)、00cos(6045)、00tan(4560)的结果究竟是什么呢？若推广到一般情况，即sin()cos()tan()？？？1、2探究问题学生处于“愤”“悱”状态，欲求之而不能.这时教师启发引导学生先思考与的三角函数之间的关系，在学生认识到的三角函数与的三角函数可以相互转化后，建议不妨先研究的三角函数与、的三角函数间的关系，从而缩小了目标.师：如何用角、的三角函数值表示的函数值呢？【启发学生认识到：要解决这个问题，可借助于我们以前曾利用过的单位圆这个基础工具，在单位圆上布列角、、，寻求其间的等量关系.先不妨假设、是锐角.】学生思考交流后，给出了如下布列角的方式.30P0Pxyoxyoα1PβP23P【果然未出现课本中布列角的情形！学生习惯于将一个角的始边放在x轴的正半轴上，逆时针作出角.这时应顺其自然，不必将学生的思维生拉硬拽，而是作必要的退步.】师：此图中蕴含了哪些等量关系呢？生E：根据角所对的弦相等可得：0123PPPP.生F（迫不及待）：根据角所对的弦相等可得：0213PPPP.（其它学生向生F投来赞许的目光.）生G（平时数学成绩不太好）：0123OPOPOPOP.（其它学生发出轻笑声.）师：G说得没错喔，值正好都等于1.式子虽简单，但也是真理啊！同学们能把这些点的坐标标出来吗？生（齐声）：0123P（1，0），P（cos，sin），P（cos，sin），P（cos（+），sin（+））.师（在图中标出点的坐标）：能列出关系式吗？学生分组尝试计算，约3分钟左右汇报结果：由0123PPPP计算得：coscoscossinsin.①由0213PPPP计算得：coscoscossinsin.②【①、②两式本质上是两角差的余弦公式，由于学生的思维能力达不到一定的高度，同时也缺乏两角和与差余弦公式的（相互比较）认知背景，不能识破其本质.“道而弗牵”，在此不勉强学生，退而引导学生进行反思，寻找新突破.】师：此两式中cossin既有，又有，若利用它们来解决我们开始提出的问题，显然计算量大，不够简洁，能不能优化结果呢？我们仔细观察①、②两式，对于4、、这三个角而言，分别是哪个角未出现正弦值？原因是什么？（学生虽有点泄气，但很快投入交流讨论，不一会就有所发现.）生F：①式未出现sin，原因是0P、1P两点相邻.②式未出现sin，原因是0P、2P两点相邻.师：如果我们设想0P与3P相邻，那么图中有与03PP相等的线段吗？（学生纷纷摇头）师：我们又该如何构造呢？生H：由于线段03PP是角所对的弦，因此只要作出点1P关于x轴的对称点4P，则线段24PP也是角所对的弦，两者相等，即0324PPPP.生I（举手）：作出点2P关于x轴的对称点5P也行，则有0315PPPP.师（在黑板上依学生想法作出图像）：想法太好了！请同学们自主选择一种方法列式计算一下.xyα-αβPPPPP13204O学生列出点4P或点5P的坐标，列式03PP24PP或0315PPPP，对其积极计算、化简、交流，发现两式都可得出：sinsincoscos)cos(.③学生的成就感油然而生！师（在黑板上工整板书出公式③）：呵呵，山重水复，终于柳暗花明！推导这个公式时我们先假设、是锐角，那么能不能推广到、是任意角呢？5生H：可以，根据三角函数的定义和周期性，③式对于、是任意角时仍然成立.师（给予肯定）：我们把③式称为两角和的余弦公式，简记为c（板书），这里、是任意角.接下来能否推导一下cos()？生J（脱口而出）：在③式中用代替即可得到：cos()coscossinsin.④师（在黑板上工整板书出公式④）：相应地我们把④式称为……生（齐声）：两角差的余弦公式！师：简记为……生（齐声）：c.师：③、④两式我们合称为两角和与差的余弦公式，合记为c.至此，我们解决了课始提出来的三个问题之一，本节课，我们主要来研究两角和与差的余弦公式（在公式上方板书课题）.接着引导学生观察、归纳公式的结构特点，借助口诀“余余、正正符号异”帮助学生记忆公式.【此时，虽然可以引导学生通过对比①、②两式与两角差的余弦公式，揭示①、②两式的本质，但我选择了继续退，退而让学生在应用中进一步熟悉公式，以待水到渠成！】1、3应用深化例1．不查表求00cos75,cos105，0cos15.例2．已知45sin,(,),cos,5213是第三象限角，求cos()、)cos(的值.【例1、例2是公式的顺用，旨在让学生获得初次成功应用公式的体验.】例3．比一比，看谁算得快.(1)000020sin80sin20cos80cos；(2)020215sin15cos；(3)0033cos15sin1522；(4)sin)30sin(cos)30cos(00.6【例3是公式的逆用，旨在让学生进一步熟悉公式结构特征.第（4）小题也为后面认识①、②两式的本质作铺垫.】生A：直接由公式可知，（1）式0001cos8020cos=2（）=60.生C：平方就是乘积，（2）式0003cos+cos3=2（1515）=0.生D：利用特殊值构造出两角和的余弦公式右侧的结构，（3）式00000002cos30cossin30sincoscos4521515（30+15）.生K：把“030+”看成一个整体，（4）式=003cos[]cos302（30+）-.师：K的想法绝妙！注意到公式中的与是任意角，用整体的眼光去看待问题是我们常用的方法.1、4回顾反思师：下面请同学们回顾一下本节课的研究历程，畅谈一下有哪些收获.生B：我掌握了两角和与差的余弦公式，并会利用它们进行求值.生L：我看到了不同公式间的联系，比如特殊与一般的关系，相互转化的关系等.生G（平时成绩不太好）：我最有体会的是：遇到问题，不妨先大胆的猜测，然后还要再进行严谨的证明.师（给予充分的肯定）：你说得对极了！遇到问题，我们首先要发挥充分的想象力，其次还要进行多方探索、求证.这儿我特别想问同学们的是：前面我们千辛万苦探究出的公式①、②难道真的是废品一个吗？它和我们本节课的内容真的毫无关联吗？【教师的质疑给予了学生强烈的心灵冲击，有点蹙眉沉思，有的窃窃私语，有的转身交流.】7生H（激动）：我知道了，①、②两式其实也是两角和与差的余弦公式，只是书写形式不同而已.师：此话怎讲？生H：①式中左边可看成[（）-]，同理②式中左边可看成[（）-]，这和例3的第（4）题思路相似.师（赞许、肯定）：如假包换，它们与两角和与差的余弦公式本质是一样的！【学生们犹如醍醐灌顶，纷纷露出恍然大悟的神情，佩服、赞叹之情溢于言表.】师：纵观本课，研究历程可谓是一波三折，正犹如宋代禅宗大师青原行思所言：初学之时，看山是山，看水是水；探索之时，看山不是山，看水不是水；被生一点破，呵呵，看山还是山，看水还是水.（学生们露出会心的、满足的、快乐的笑容，认知、情感都得到了升华！）1、5布置作业1．课后练习题根据自己的情况选做2题.2.利用两角和与差的余弦公式证明：（1）sin)2cos(;（2）cos)2cos(.3.尝试探索公式：sin()tan()？？【作业2可以让学生认识到前面学过的诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情形，领略数学的统一性.同时第（1）小题意在为两角和的正弦公式的推导服务.作业3将研究延伸至课外，体现了课堂教学的开放性！】2、课后听课专家精简点评2.1教学设计起点低，目标高，立意新本节课在遵循教材总体设计思路的前提下，对问题的引入作了调整，由最简单的、学生最易遇到的问题入手，显得自然、干脆，起点较低，便于学生理解.本节课的教学过程中，学生的思维活动在三个层面上展开：一是从问题形成到C的探求过程；二是以C公式8作为思维对象，通过应用不断深化的过程；三是在回顾反思环节对整个学习过程和结果的回顾反思，促成学生认知上的升华.整个教学过程以公式探究和应用为载体，紧紧抓住思维的“关键点”来“教思维”，强化了学生对数学思想方法和数学思维的感悟，目标高，立意新.2.2教学过程真实、流畅，退让得当基于学生的数学学习心理，整节课的设计和实施都站在学生的角度去思考、观察、审视、操作.在问题的提出、解决、拓展等方面，学生能用接近水平的真实方式进行探究，力求还原真实的、曲折的探究过程，再现了科学研究中经常遇到的“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的现象.在此课中，为了促进学生思维自然流淌，笔者在教学中不断采用“退”的策略，“退”是退回学生思维的实际状况，促进知