《微积分基本定理与应用》试题

1高二数学学案编号：007编者：宋冬梅2015-3-10课题:微积分基本定理与应用【学习目标】1．直观了解微积分基本定理的含义。2．会求简单的定积分。3．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。【典型例题】[例1]（1）由抛物线xy2和直线x=1所围成的图形的面积等于A．1B．34C．32D．31（2）如图，阴影部分的面积是A．32B．329C．332D．335（3）dxx|4|102=A．321B．322C．323D．325（4）dxx222cos=．（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力221rmmkF，k为常数，21,mm为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a）．[例2]如图，求由两条曲线2xy，24xy及直线y=-1所围成图形的面积．[例3]如图，抛物线C1：y=-x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程．yxo122--1-1ABCD2xy24xy例2图例3图A例1（2）2[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．（1）求直线l1的方程；（2）设ABD的面积为S1，求BD及S1的值；（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．【课内练习】1．50(24)xdx=A．5B。4C。3D。22．211lnxdxx=A．21ln22B。ln2C。2ln2D。ln23．若11(2)3ln2axdxx，且a＞1，则a的值为A．6B。4C。3D。24．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为A．203gtB．20gtC．202gtD．206gt5．曲线2xy与直线2xy所围成的图形（阴影部分）的面积等于．6．0dxF'tt。7．(cos5sin2)daaxxxx=。8．计算下列定积分的值（1）312)4(dxxx；（2）dxxx20)sin(；（3）dxx222cos。9．平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．（Ⅰ）求水面宽；（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？10．设)(xfy是二次函数，方程0)(xf有两个相等的实根，且22)(xxf．（1）求)(xf的表达式．（2）若直线)10(ttx把)(xfy的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．3高二数学学案编号：007编者：宋冬梅2015-3-10课题:微积分基本定理与应用【学习目标】1．会求简单的定积分。2．会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。【当堂检测】A组1．下列有定义的定积分为A．111dxxB。221cosdxxC。420(2)dxxD。20lnxdx2．dxeexx10)(=A．ee1B．2eC．e2D．ee13．曲线]23,0[,cosxxy与坐标轴围成的面积A．4B．2C．25D．34．若20(345)axxdx=a3-2（a＞1），则a=。5．94(1)dxxx=。6．求定积分：122320(9)xxdx。7．求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积．8．如图，抛物线24yx与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。（1）求使PAB的面积为最大时P点的坐标(,)ab；（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.微积分基本定理与应用B组1．230(2cos1)2xdx=xy024246812102424BPA4A．32B。12C。12D。322．320|312|xdx=A．21B。22C。23D。243．下列命题：①若f(x)是定义在R上的奇函数，则0()xftdt为R上的偶函数；②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则0()()aaTTfxdxfxdx；③0(())()xftdtfx。其中正确命题的个数为（）A．0B。1C。2D。34．由曲线22yx与直线yx所围成的平面图形的面积为。5．已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，则把弹簧拉长0.1米所作的功为．6．求由曲线22yxx与x轴所围的封闭区域的面积。7．设某物体一天的温度T是时间t的函数，T(t)=at3+bt2+ct+d(a≠0)，其中温度的单位是C，时间的单位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8C，12∶00的温度为60C，13∶00的温度为58C，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率．（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数)(xf在)](,[2121xxxx上函数值的平均为21)(112xxdxxfxx，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．8．一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．5参考答案微积分基本定理与应用【典型例题】[例1]（1）B．（2）C．（3）C．（4）214。（5）)11(21bamkm。[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．由12yxy得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．∴所求图形的面积S=})]1(4[)](4[{22122102dxxdxxx)443(221102122dxdxxdxx34)124(221213103xxx．[例3]设过原点的直线方程为y=kx，解方程组axxykxy22，得x1=0，x2=k+2a．当k+2a≥0时，akakdxxxakdxaxxkxS202022])2[()2(6)2()3122(32032akxxakak．于是(k+2a)3=27a3，解得k=a．所以，直线l的方程为y=ax．当k+2a0时，022])2[(akdxxxakS6)2(3ak．于是-(k+2a)3=27a3，解得k=-5a．所以，直线l的方程为y=-5ax．综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y=-5ax．[例4]（1）由y=2x2，得xy4．当x=-1时，4y．∴l1的方程为y-2=-4(x+1)，即4x+y+2=0．（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．又可求得点A到直线BD的距离为1a，BD=2a2+4a+2=2(a+1)2．∴S1=31a．（3）由题意，当a-1时，aaxxxdxxxS112322)2232()242(323)1(3222322232aaaa，当a-1时，122)242(adxxxS3)1(32a，∴S1∶S2=3∶2．即S1∶S2的值为与a无关的常数．【课内练习】1．A。2．A。3．D。4．C。5．29。6．F(x)-F(0)。7．4a。8．（1）203；（2）218；（3）2。9．（Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为)0(,2aaxy．yxo122--1-1ABCD2xy24xy例2图6OxyFABCDEG图则由抛物线过点)23,1(B，可得23a．于是抛物线方程为223xy．当y=1时，36x，由此知水面宽为362（m）．（Ⅱ）柱体的底面积3602)231(2dxxS360(2dx)233602dxx)(964)3123(223603360mxx．∴柱体体积为)(964009641003m，即水沟中有水396400m．10．（1）12)(2xxxf；（2）3211t．微积分基本定理与应用A组1．B。2．D。3．D。4．2。5．2716。6．529。7．首先求出函数xxxy223的零点：11x，02x，23x.又易判断出在)0,1(内，图形在x轴下方，在)2,0(内，图形在x轴上方，所以所求面积为dxxxxA0123)2(dxxxx2023)2(1237。8．（1）37(,)24P；（2）面积均为12512。B组1．D。2．23。3．D。4．92。5．如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=kx．在上式中k为比例系数．根据题意，当x=0.02时，F=9.8，故由F=kx得k=490．这样得到的变力函数为F=490x．于是所求的功为20.10.100490490()2.452xWxdx（J）．6．437．（1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，)4()4(TT，则d=60，b=0，a=1，c=xFx07-3，因此，温度函数T(t)=t3-3t+60．（2）)1)(1(333)(2ttttT，当)2,1()1,2(t时，0)(tT；当)1,1(t时，0)(tT．因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即t=-1是极大值点．由于T（-1）=T（2）=62，所以10∶00到14∶00这段时间中，该物体在11∶00和14∶00的温度最高，最高温度为62C．（3）根据定义，平均温度为4444360)603(81)()4(41dtttdttT，即该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度60C．8．物体的速度233)(btbtdtdxV．媒质阻力422229)3(tkbbtkkvFzu，其中k为比例常数，k0．当x=0时，t=0；当x=a时，311)(batt，又ds=vdt，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu。