《数字信号处理》复习思考题习题(二)答案

1一、思考题1、C2、C3、D4、A5、D6、B7、D8、B9、C10、A11、C12、C13、A14、A15、B16、C17、A18、C二、概念填空题1、（1）付氏级数（2）hd（n）（理想的单位脉冲响应）（3）RN（n）（N点矩形窗或N点矩形序列）（4）h（n）（单位脉冲响应）（5）吉布斯（6）波动（不平稳）（7）衰减（最小衰减）2、（8）（9）三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗（10）过渡带（11）衰减3、（12）时（13）h（n）（数字滤波器单位脉冲响应）（14）ha（t）（模拟滤波器冲激响应）（15）频谱混叠（16）折叠频率（π/T）4、（17）偶对称（奇对称）（18）奇对称（偶对称）（19）2)1(Nn（20）线性相位特性5、（21）时（22）窗函数（23）有限长（24）逼近6、（25）某种优化逼近方法（26）逼近（27）频率响应（28）最优三、判断说明题1、判断：正确简述：按照频率采样滤波器结构的推导，上述说法是正确的，这正是频率采样结构的一个优点。但对于不同的频响形状，N个并联一阶节2的支路增益H（k）不同。2、判断：一致简述：由于对模拟滤波器而言，因果稳定系统传递函数Ha（s）的极点均在S平面的左半平面，只要转换关系满足使S平面的左半平面转换到Z平面的单位圆内，就保证了转换后数字滤波器系统函数H（z）的极点全部在Z平面的单位圆内，从而保证了系统的因果稳定性。3、判断：不对简述：正确的表述应为：IIR滤波器只能采用递归型结构实现；FIR滤波器一般采用非递归型结构实现，但也可使结构中含有递归支路。就是说滤波器结构与特性没有必然的联系。4、判断：一致简述：由于对模拟域而言，其频率轴就是S平面的虚轴jΩ轴，而对数字域来说，其频率轴是Z平面的单位圆，因此两者是一致的。四、计算应用题1、解：1）容易将H（z）写成级联型的标准形式如下：212114114321121181.09.012315.0)81.09.01)(4()23)(32()(zzzzzzzzzzzzzH显见，该系统的级联结构由一个直接Ⅱ型一阶节和一个直接Ⅱ型二阶节级联而成，因此容易画出该系统的级联型结构图如图A-1所示。32）容易将H（z）写成直接Ⅱ型的标准形式如下：3213212025.0035.165.0175.025.15.1)(zzzzzzzH从而容易画出该系统的直接Ⅱ型结构图如图A-2所示。2、解：1）由FIR系统函数表述关系，容易写出该系统的单位脉冲相应为：图A—1图A—24)5(51)3(31)2(2)1()(nnnnnh画出h（n）的图形如图A—3所示。2）由系统函数容易求出系统的差分方程为：)()()(zXzYzH所以有：)()51312()(5321zXzzzzzY对上式两边求Z反变换，可得：)5(51)3(31)2(2)1()(nxnxnxnxny3）由线性时不变系统因果性和稳定性的充分必要条件，容易判断知：该系统为因果稳定系统。3、解：1）容易将H（z）写成级联型的标准形式如下：21211211215.05.2125.075.015.111)5.05.21)(5.11()25.075.01()(zzzzzzzzzzzH显见，该系统的级联结构由一个直接Ⅱ型一阶节和一个直接0123456211/3001/5n图A—35Ⅱ型二阶节级联而成，因此容易画出该系统的级联型结构图如图A-4所示。2）容易将H（z）写成直接Ⅱ型的标准形式如下：3212175.025.3125.075.01)(zzzzzzH从而容易画出该系统的直接Ⅱ型结构图如图A-5所示。4、解：1）对差分方程两边求Z变换，得：图A—4图A—56（1-z-1-z-2）Y（z）=z-1X（z）)618.0)(618.1()251)(251(11)()()(2211zzzzzzzzzzzzzXzYzH收敛域为：618.1z2）由Z反变换，对H（z）方程两边同除z，有：618.0618.1)(zBzAzzH容易求出A=0.4472；B=-0.4472。从而可得：)618.0618.1(4472.0)(zzzzzH由Z反变换得：)]()618.0()()618.1[(4472.0)(nununhnn3）由线性时不变系统稳定性的充要条件nnh)(知，系统为不稳定系统。5、解：1）对差分方程两边求Z变换有：)()311()()81431(121zXzzYzz7从而系统的系统函数为：1211411211411312811431311310137)1)(1(111)()()(zzzzzzzzzXzYzH由此可画出系统的直接型、正准型、级联型和并联型如图A－6、图A－7、图A－8和图A－9所示。2）设在图P-1上面右边节点为y1(n)，则有：)1(cos)1(sin)()(11nyrnyrnxny对上式两端求Z变换，有：A-6A-7A-8A-9z－1z－1z－11/33/4-1/8y(n)z－1z－13/4-1/81/3y(n)z－11/41/31/2z－1y(n)1/4z－1z－11/2-7/310/3y(n)8)(sin)()cos1)((111zYrzzXrzzYcos1)(sin)()(111rzzYrzzXzY)1(cos)1(sin)(1nyrnyrny对上式两端求Z变换，并做整理后有：cos1)(sin)(sin)(sin)()cos1(111111rzzYrzzXzrzYzrzYrz从而有：)(sin)(sin)()cos1(222121zYzrzXzrzYrz)(sin)()cos21(1221zXrzzYzrrz从而可得，系统函数为：2211cos21sin)(zrrzrzzH进而可得系统的差分方程为：)1(sin)2()1(cos2)(2nxrnyrnyrny6、解：1）先将系统函数改写成：321321234146.16.14.2)(zzzzzzzH9从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A－10和A－11所示。283141241181212113282)(zzzzzzzzzH从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A－12和A－13所示。7、解：1）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标sradtgtgTpp/225.0222sradtgtgTss/828.4275.02222）计算模拟滤波器阶数N414.22828.4psA－10A－112.41.61.64-4-3-2z-1z-1z-1z-1z-1z-1y(n)y(n)2.4-4-3-21.64z-1z-1z-1y(n)z-1z-1z-1z-11/4－1/81/43/8y(n)－1/81/4z-1z-11/43/8A－12A－13101803.01101101.01.0spaak9412.1414.2lg1803.0lglglgkN取N=23）由给出的归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数可得所设计的模拟滤波器传递函数为：1414.11)(2sssHa4）用双线性变换法求出数字低通滤波器系统函数为：212111211112172.26828.7211)112(414.1)112(1)()(11zzzzzzzzsHzHzzsa8、解：1）将滤波器指标转换到数字域radTfspp07854.02005.222radTfsss5708.120050222）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标11sradtgtgTpp/07858.0207854.0222sradtgtgTss/225708.12223）计算模拟滤波器阶数N4518.2507858.02ps01.01101101.01.0spaak4228.14518.25lg01.0lglglgkN取N=24）由给出的归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数可得所设计的模拟滤波器传递函数为：1414.11)(2sssHa5）用双线性变换法求出数字低通滤波器系统函数为：212111211112172.26828.7211)112(414.1)112(1)()(11zzzzzzzzsHzHzzsa129、解：1）将指标转换到数字域：431662;41622sp2）将指标转换到设计域：设1p，则：4142.282ctgctgCp8284.54142.24142.2834142.22tgtgCss3）设计)(sHa：由巴特沃思设计法：1110max1.0a3034.1lg])110(lg[21min1.0saN取N＝2求)(sHa的极点，由：]2)12(cos[]2)12(sin[11nknknnkkk＝1，2可得：707.0707.043cos43sin707.0707.04cos4sin21jjsjjs13所以有：1414.11))((1)(221sssssssHa4）对进行双线性变换，求H(z)：2111212211121111)1()1)(1(414.1)1()1(1)11(414.1)11(1)()(11zzzCzCzzzCzzCsHzHzzCsa将C＝2.4142代入，经整理得：2121415.3657.9241.1021)(zzzzzH10、解：1）重叠保存法算法步骤为：a）先将x(n)分解成：其他010)]1([)(1NnNiNnxnxib）利用FFT算出：)()()(nhnxnyiic）抛弃yi(n)的前N1-1个点；d）将各个yi(n)顺序连接起来，即得到最终的卷积结果序列14y(n)。程序流程图略。2）Remez算法步骤如下：a）在频率子集F上等间隔地取21N个频率点1101,,,N，作为交错点组的初始值，然后按下式计算ρ：101011)()1()(NkkkkNkkdkWH式中：101)cos(cos1)1(Nkiikikk利用拉格朗日插值公式（由数学上可以证明，满足最佳一致逼近的多项式为拉格朗日多项式，可见如《数值逼近》），不求a(n)即可得到初始的)(gH：10coscos10coscos11)(NkNkkgkkkkCH式中：1,,1,0)1()(1)(NkHCkWkdk15b）在子集F上，对所有频率ω计算E(ω),判断是否对所有频率均有：)(E，若是，则1101,,,N为交错点组，逼近结束；否则需要重新设立新的交错点组，其方法如下。c）对前一次设定的交错点组中的每个点，都在其附近检查是否在某个频率处有)(E（通常在两交错点间设立一定的频率点密度，如设立16点），若有，则在该点附近找出局部极值点，并用这局部极值点代替原来的点，待N1+2个点检查完毕后，便得到一组新的交错点组。完成一次迭代。d）用新得到的交错点组，重复1~3步，直至到达ρ的极限（是随着迭代次