《数学建模》选修课期末试题

数学建模部分1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如高露洁牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量价格比是1.2：1.试用合适方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品价格C与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本、和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关打的因素.（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出他们的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么.2.建立不允许缺货的生产销售存储模型模型，设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr.在每个生产周期T内，开始的一段时间（00tT）内一边生产一边销售，后来的一段时间（0TtT）只销售不生产，画出贮存量()qt的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期.讨论kr和kr的情况.3.在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.4.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立模型讨论是否跑得越快淋雨越少.将人体简化成一个长方体，高1.5am（颈部以下），宽0.5bm，厚0.2cm.设跑步距离1000dm，跑步最大速度5/mvms，雨速4/ums，降雨量为2/wcmh，记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量.（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，建立总淋雨量与速度v之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算0,30时的总淋雨量.（3）雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，建立总淋雨量与速度v之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少.计算30时的总淋雨量.（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义.5.甲乙两公司通过广告竞争销售产品的数量，广告费分别是x和y设甲乙公司商品的销售在两公司总销售量中占的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数()xfxy和()yfxy，又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润.是构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大.（1）令xtxy，则()(1)1ftft.画出()ft的示意图.（2）写出甲公司利润的表达式()px.对于一定的y，使()px最大的x的最优值应满足什么关系.6.在传送带效率模型中，设工人人数n固定不变。若想提高传送带效率D，一种简单办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其他条件不变。另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两个钩子，其他条件不变，于是每个人工人在任何时刻可以触到两只钩子，只要其中的一个是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样，试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好7.某商店要订购一批商品零售，设进价1c，售价2c，订购费0c（与数量无关），随机需求量r的概率密度为()pr，每件商品的贮存费为3c（与时间无关），问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少.为使平均利润为正值，需要对订购费加什么限制。8.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型()lnNxtrxx，其中r和N的意义与Logistics模型相同。设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间内捕捞量为hEx。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh与获得最大产量的捕捞强度mE和渔场鱼量水平*0x。9.论文题目自拟，全文要求：1）阐述数学上建立模型的必要性；2）要举出至少3个实例；3）要包括实际问题的背景，建模的目的；4）需要建立什么样的模型；5）怎样应用这种模型。10.论文题目自拟：模仿”商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。11下面这个象棋残局，红棋先走，问：结果如何，红棋应该怎样走？试着给出解答。11.文题目自拟，全文围绕：经济学是否需要数学公理化方法；举例说明经济学家著作中运用的数学方法，如：英国的威廉·配第(WilliamPetty)、杰文斯（WilliamStanleyJevens）、法国的安东尼·奥古斯丹·古诺(A.A.Cournot)、瓦尔拉斯（L.Walras）、奥地利的门格尔（C.Menger）、爱尔兰的埃杰沃思（FrancisYsidroEdgeworth）等等；经济学中的数学公理化方法。12题目自拟，全文要包含：你认为《数学建模》课相对其他课程，有哪些特点？请以课堂中的实例，说明你叙述的特点；你喜欢该课程的哪些内容，请以课堂中的实例来阐述；通过学习《数学建模》，你从该课程中学到了些什么，你觉得对你今后的学习（工作，人生）有何意义；你对《数学建模》课程，有什么更好的建议和意见。13牛顿力学与微积分14数学与经济学的关系15数学与化学的关系16函数概念发展史17空间概念发展史18“圆”中的数学文化19解析几何的产生与数形结合的思想20古希腊与古代中国数学文化的比较21.0的产生与其中的数学文化22.“混沌学”的产生与其限制意义23.就课程中初等模型的“椅子能否放稳”问题，讨论长方形椅子的情形。24.“运筹学”的产生与发展，以及其主要分支