《椭圆的标准方程》教案

《椭圆的标准方程》教案一、教材分析和学情分析本节课是圆锥曲线的第三课时。它是在学生学习了直线和圆的方程、曲线与方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用。是本章和本节的重点内容。从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察、辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。因此，本节课关注的重点：知识上是椭圆的定义和标准方程；从学生的情感态度上，关注学生的全方位参与，特别是思维起点和思维发展点。●教学目标根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：⑴知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；⑵能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；⑶情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。●重点、难点及关键重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；关键：创设具体的椭圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。●教学方法启发、探索●教学手段运用多媒体和实物投影仪辅助教学●教学过程⒈创设情景、引入概念首先用多媒体演示体育场的平面图及卫星围绕地球旋转的运行图，形象地给出椭圆，然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。⒉尝试探究、形成概念教师提出问题：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：思考1：在纸板上作图说明什么？思考2：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？思考3：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。用多媒体演示从椭圆变化到圆的过程，把圆与椭圆进行类比，并得到椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2a。⒊标准方程的推导标准方程的推导是本节课的难点，在推导时应抓住“建立坐标系”和“简化方程”这两个环节。①建系：给出四种建立坐标系的方法，同时教师结合建立坐标系的一般原则---使点的坐标、几何量的表达式简单化，并从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系。②设点：设点M（yx,）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1（-c,0）、F2（c,0）③列式：依据椭圆的定义式∣MF1∣+∣MF2∣=2a列方程，并将其坐标化为aycxycx22222。④化简：通过移项、两次平方后得到：22222222caayaxca，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令222cab，可得椭圆标准方程为12222byax（ab0）。让学生将椭圆的x、y轴互换，通过合理的猜想得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。在学生得出椭圆的两种形式的标准方程后，请学生思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？通过分析可得：含2x、2y的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。⒋应用概念例1．判断下列椭圆的焦点的位置①16410022yx②125922yx并引导学生求出上述两个方程的焦距与焦点坐标。再让学生将方程22525922yx化为标准方程。例2.己知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点距离之和是10，写出这个椭圆的标准方程。解：因为2c=6,2a=10,所以c=3,a=5,从而163522222cab.由于焦点在x轴上，因此这个椭圆的标准方程是1162522yx将椭圆满足条件：a=5且焦点坐标为F1（-3,0）、F2（3,0）与例2的条件进行比较。例3．椭圆13610022yx上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是。分析：紧扣椭圆的定义式，利用数形结合的方法解题。变式：①椭圆11003622yx上一点P，求△PF1F2的周长？②椭圆1366422yx的弦PQ过F1，求△PQF2的周长？学生自己分析，主要培养学生在做解析几何题时用数形结合的方法。⒌归纳小结⑴知识小结：学生自己小结定义aMFMF221定义式椭圆焦点在x轴上12222byax标准方程2220cbaba焦点在y轴上12222aybx⑵方法小结：①用坐标法研究曲线②用运动、变化的观点分析问题③解题过程中注意数形结合的方法⑶实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。本环节是对所学内容作全面的小结，除了小结知识技能、数学方法以外，还对椭圆的实际应用进行概括，使学生既学了知识，又培养了能力，同时也对椭圆有一个更全面深刻的认识，为下节课的学习打下了基础。思考：方程151022kykx表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A.10kB.5kC.105kD.105.7k6.布置作业⑴书第84页A组1、2B组1、2⑵课外研究题：依据椭圆的定义，如何用直尺和圆规描点画椭圆？●板书设计定义：aMFMF221焦点在x轴上12222byax标准方程2220cbaba焦点在y轴上12222aybx应用练习