《概率与数理统计》试题与参考答案

第1页共7页一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分,共30分）1．设CBA、、是3个随机事件，则“三个事件中至少有两个事件发生”用CBA、、表示为BCACAB；2．设P(A)=0.3，P(B)=0.6，若A与B独立，则)(BAP=0.82；3．设X的概率分布为CkkXPk212)(，4,3,2,1k，则C1637；4．设随机变量~),(pnB，且4E，2D，则n=8；5．设随机变量的密度函数为其他,02||,cos)(xxCxf，则常数C=21；6．设nXXX,,,21是来自),(2N的样本，则)(XE；7．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，9)，Y～N(0，1)，令Z=X-2Y，则D(Z)=13；8．nXXX,,,21是取自总体),(2N的样本，则niiXnX11~),(2nN；9．若总体),(~2NX，且2未知，用样本检验假设0H：0时，则采用的统计量是nsxt/0；10．设总体)(~PX，则的最大似然估计为x。第2页共7页二、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若A与B互为对立事件，则下式成立的是（D）A.P（AB）=B.P（AB）=P（A）P（B）C.P（AB）=D.P（A）=1-P（B）2.已知一射手在两次独立射击中至少命中目标一次的概率为0.96，则该射手每次射击的命中率为(C)A.0.04B.0.2C.0.8D.0.963.设A，B为两事件，已知P（A）=31，P（A|B）=32，53)A|B(P，则P（B）=（A）A.51B.52C.53D.544.随机变量X)3(~E,则)(XD(B)A.31B.91C.271D.8115.设随机变量X～N(2,32)，(x)为标准正态分布函数，则P{2X≤4}=(A)A.21)32(B.21()3C.1)32(2D.2()36.设二维随机变量(X,Y）的分布律为则P{X=Y}=（A）第3页共7页A.0.3B.0.5C.0.7D.0.87.设随机变量X～N（-1,3),Y～N(1,2)，且x与y相互独立，则X+2Y～（B）A.N(1,10)B.N(1,11)C.N(1,5)D.N(1,7)8.设随机变量X1，X2，…，X100独立同分布，E(Xi)=0,D(Xi)=1，i=1,2，…，100，则由中心极限定理得P{100110iiX}近似于(B)A.0B.(l)C.(10)D.(100)9.设x1，x2，…，x5是来自正态总体N（2,）的样本，其样本均值和样本方差分别为51iix51x和251ii2)xx(41s，则s)x(5服从（A）A.t(4)B.t(5)C.)4(2D.)5(210.设总体X~N（2,），2未知，x1，x2，…，xn为样本，n1i2i2)xx(1n1s，检验假设H0∶2=20时采用的统计量是（D）A.)1n(t~n/sxtB.)n(t~n/sxtC.)n(~s)1n(22022D.)1n(~s)1n(22022三、计算题：（本大题共有7个小题，共50分）1．（6分）设在某条国道上行驶的高速客车与一般客车的数量之比为1：4，假第4页共7页设高速客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.002，一般客车因发生故障需要停驶检修的概率为0.01.（1）求该国道上有客车因发生故障需要停驶检修的概率；（2）已知该国道上有一辆客车因发生故障需要停驶检修，问这辆客车是高速客车的可能性有多大？解设A={高速客车}，B={一般客车}C={客车需要维修}(1)则，由全概公式，得P(C)=0084.001.054002.051)/()()/()(BCPBPACPAP(2)贝叶斯公式，得0595.00084.0002.051)()/()()/(CPACPAPCAP2．（6分）26.由历史记录知，某地区年总降雨量是一个随机变量，且此随机变量X~N(500,1002)（单位：mm）.求（1）明年总降雨量在400mm~600mm之间的概率；（2）明年总降雨量小于何值的概率为0.1（φ(1)=0.8413,φ(1.28)≈0.9）解（1）)1()1()11005001()600400(XPXP=6826.018413.021)1(2(2)由1.0)100500100500()(xXPxXP得1.0)100500(x所以，有9.01.01)100500(1)100500(xx由已知，得，28.1100500x故，x=372第5页共7页3．（7分）设随机变量X的分布律为.记Y=X2，求：(1)D(X)，D(Y)；(2)Cov(X,Y).解因6.01.024.015.00)(XE8.01.024.015.00)(2222XE所以，44.06.08.0)()()(222XEXEXD又因，2.11.024.015.00)()()(33332XEXXEXYE8.0)()(2XEYE21.024.015.00)()(44442XEYE所以，44.08.02)()()(222YEYEYD于是，72.08.06.02.1)()()(),(YEXEXYEYXCOV4．（7分）某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.2，求在任一时刻有2100个以上的用户访问该网站的概率.(取Φ(2.5)=0.9938)。解设X为访问网站的人数则，由题意知，n=10000,p=0.2,q=0.8所以，)2.0,10000(~bX由大数定理有，)1,0(~NnpqnpX，此时40,2000npqnp所以，)4020002100(1)2100(1)2100(XPXP=0062.09938.01)5.2(1第6页共7页5.（8分）设（X,Y）的概率密度为：其它00,10,),(xyxAxyyxf求：（1）A；（2）关于X和关于Y的边缘概率密度；（3）判断X与Y是否独立？解（1）由归一性，得10,(dydxyxf，得1][100xdxAxydy，于是18A，所以A=8（2）)10(48),()(30xxxydydyyxfxfxX)10()1(48),()(21yyyxydxdxyxfxfyY（3）易知，)()(),(yfxfyxfYX所以，X与Y不独立6.（8分）某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X服从泊松分布，即X~P（），若已知P（X=1）=P（X=2），且该柜台销售情况Y（千元），满足Y=21X2+2。试求：（1）参数的值；（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况E（Y）。解（1）由P（X=1）=P（X=2）得，ee!2!12所以，2，所以2)()(YDXE第7页共7页（2）201!01)0(1)1(eeXPXP（3）2)(21)221()(22XEXEYE=6)22(212]))(()([2122XEXD=57.（8分）生产一种工业用绳，其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，原来生产的绳子指标均值μ0=15公斤，采用一种新原材料后，厂方称这种原材料能提高绳子的质量，为检验厂方的结论是否真实，从其新产品中随机抽取45件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤.取显著性水平α=0.01，试问这些样本能否接受厂方的结论.（附表：t0.01(45)=2.4121，t0.005(44)=2.6923.）解因方差2未知，检验：15:0H所以，应用t检验其中，)44(~/0tnsxt，5.0,8.15,45,01.0sxn所以，733.1045/5.0158.15t由1)|(|tP，得，6923.2)44()44(005.02tt由于，||t，所以这些样本不能接受厂方的