《概率论与数理统计》期末考试卷及答案与评分标准五

○------------------------○密-------------------------○封------------------------○装--------------------------○订-----------------------○线--------------------------○《概率论与数理统计》2007—2008学年度第一学期期末考试（B）卷答案与评分标准注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚2.所有答案请直接答在试卷上3．考试形式：闭卷4.本试卷共5大题，满分100分，考试时间100分钟题号一二三四五总分统分人复查人得分一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的横线上。错选或未选均无分）1.设A,B为随机事件,若P(A)=P(B)0.5,则------B------------;(A)A,B互不相容;(B)A,B非互不相容;(B)(C)A,B相互独立;(D)A,B相互不独立;2.己知随机变量X服从区间[5.10]上的均匀分布,则----------C-----------;(A)P(X29)=0.3;(B)P(X29)=0.15;(C)P(X2≤9)=0;(D)“X=7”是不可能事件;3己知二维随机向量(X,Y)具有分布函数F(x,y)，则-------------C-----------;(A)P(Xx)=F(x,+);(B)F(+,y)=1;(C)F(-∞,y)=0;(D)F(－∞,+∞)=1;4.己知随机变量X服从二项分布B(n,p),则D(X)/E(X)=------------B--------;(A)n;(B)1-p;(C)p;(D)1/(1-p);5.己知随机变量X的期望E(X)=10,方差D(X)=4,则-------A---------;(A)P(X-10＜6)≥8/9;(B)P(X-10＜6)≤8/9;(C)P(X-10≥6)≥8/9;(D)P(X-10≥6)≤8/9;6.设X1,X2,…,X10是来自总体N(,2)的简单随机样本，则μ1=(X1+X2+…+X10)/10,μ2=X1,μ3=X1/2+X2/3+X3/6,μ4=X1/2+X2/3+X3/4中有-------------D-----------个是的无偏估计量;(A)4;(B)2;(C)1;(D)3二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。将答案直接填入栝号内或表格内）1、设A,B是二事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.7,P(A∪B)=0.8,则P(AB)=(0.4);2、掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为7,则其中有一颗为1点的概率为(1/3)；3.设随机变量X的分布律为NkNakXP,,2,1,}{,则常数a=(1)4、已知随机变量x与Y的联合分布律为YX01200.100.250.1510.150.200.15则P{X+Y=1}=(0.4)5.设随机变量X与Y相互独立,X～P(2),Y～E(1),则D(2X-Y)=(9);6．设X1,X2,…,Xn是来自总体N(,2)的简单随机样本，2已知，X是样本均值,S2是样本方差,则的置信度为的置信区间为（2121,unXunX）三、简单解答题(每小题6分，共18分)1.已知AB,P(A)=0.4,P(B)=0.6,求)(BAP与)(BAP解：;2.04.06.0)()()(APBPBAP(3分),4.0)()()(BPBAPBAP(6分)得分评卷人复查人得分评卷人复查人得分评卷人复查人第1页（共6页）院姓名学号系专业班级(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封……………………………线…………………………………………第2页（共6页）○------------------------○密-------------------------○封------------------------○装--------------------------○订-----------------------○线--------------------------○2．设X的分布函数为0,0,0),1()(xxeAxFx求常数A及P{1≤X≤3}.解：,1,)1(lim)(1AAeAFxx(3分)P{1≤X≤3}=F(3)-F(1)=e-1-e-3,(6分)3.设总体X具有概率密度)0(,,0,10,)(1其他xxxf求的矩估计量。解:,1)()(10dxxdxxfxXE(3分)由,111XXnnii(5分)得的矩估计量,1ˆXX(6分)四、综合解答题(每小题8分，共32分)1、将两信息分别编码为X和Y后传送出去，接收站接收时，X被误收为Y的概率为0.02，Y被误收为X的概率为0.01，信息X与信息Y传送的频繁程度之比为2:1，若接收站收到的信息是X，问原发信息也是X的概率是多少？解：记A=“收到信息X”，B=“发送信息X”，则(1分),98.002.01)(1)(BAPBAP,01.0)(BAP,32)(BP,31)(BP(5分)依贝叶斯公式，所求概率为197196)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP(8分)2.设随机变量X的概率密度为其它，,0,0,)(xexfx求Y=X2的概率密度。解:x0,y=g(x)=x2,严格单调增加,(1分)有反函数yyh)(,yyh21)(,(3分)所以Y=X2的概率密度为,0,0,0,)()]([)(yyyhyhfyfY(6分),0,0,0,21yyeyy(8分)得分评卷人复查人第3页（共6页）第4页（共6页）○------------------------○密-------------------------○封------------------------○装--------------------------○订-----------------------○线--------------------------○3.设随机变量X具有分布函数0,0,,1)(33aaxaxxaxF其中，求E(X).解:X的概率密度为)()(xFxf，axaxxa,0,,343(3分)adxxadxxxfXE333)()((6分)23a(8分)4、设W=(aX+3Y)2,E(X)=E(Y)=0,D(X)=4,D(Y)=16,XY=-0.5,求常数a使E(W)为最小,并求E(W)的最小值.解:(1)W=a2X2+6aXY+9Y2,E(X2)=D(X)+[E(x)]2=4,E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=16,(2分)E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)=)()(YDXDXY=-4,(4分)E(W)=a2E(X2)+6aE(XY)+9E(Y2)(6分)=4a2-24a+144=4(a-3)2+108,(7分)∴当a=3时,E(W)为最小,E(W)的最小值为E(W)min=108.(8分)四、证明题(本题共1小题，共8分)1、设(X,Y)服从二维正态分布,且D(X)=2X,D(Y)=2Y,证明当a2=2X/2Y时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立.证:(X,Y)服从二维正态分布,W=X-aY与V=X+aY都服从正态分布,当a2=2X/2Y时,(2分)Cov(W,V)=Cov(X-aY,X+aY)(3分)=Cov(X,X)-aCov(Y,Y)(5分)=D(X)-a2D(Y)(6分)=2X-a22Y=0(7分)∴XY=0,即W与V相互独立.(8分)得分评卷人复查人第5页（共6页）第6页（共6页）