《概率论与随机过程》第1章习题

《概率论与随机过程》第一章习题1.写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。（4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。（6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。（7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。（8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。（10）测量一汽车通过给定点的速度。（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C都发生。（4）A，B，C中至少有一个发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中至多于一个发生。（7）A，B，C中至多于二个发生。（8）A，B，C中至少有二个发生。3.设10,2,1,S,4,3,2A，5,4,3B，7,6,5C，具体写出下列各等式（1）BA。（2）BA。（3）BA。（4）BCA。（5）)(CBA。4.设20xxS，121xxA，2341xxB，具体写出下列各式。（1）BA。（2）BA。（3）BA。（4）BA。5.设A，B，C是三事件，且41)()()(CPBPAP，0)()(CBPABP，81)(ACP，求A，B，C至少有一个发生的概率。6.在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？8.一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求第4只次品管子在下列情况发现的概率。（1）在第5次测试发现。（2）在第10次测试发现。9.甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(BPAP，28.0)(ABP，求)/(BAP，)/(ABP及)(BAP。10.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品。（2）二只都是次品。（3）一只是正品，一只是次品。（4）第二次取出的是次品。11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？12.某工厂中，机器321,,BBB分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,BBB生产的概率分别是多少？13.将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？14.如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？LR12345615.对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。16.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率质函数。17.（1）设随机变量X的概率质函数为!}{kakXPk，0,,2,1,0k为常数，试确定常数a。(2)设随机变量X的概率质函数为NakXP}{，1N,,2,1,0k，试确定常数a。18.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。19.一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。20.设随机变量X的分布函数为.0,0,0,1)(xxexFx（1）求}3{},2{XPXP，（2）求概率密度)(xf。21.一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为160，的正态分布，若要求80.0}200120{XP,允许最大为多少？22.设随机变量X的概率质函数为X21013kp5161511513011求2XY的概率质函数。23.设X的概率密度为其它,00,2)(2xxxf，求sinXY的概率密度。24.设随机变量（X，Y）的概率密度为其它.,0,20,10,3),(2yxxyxyxf求}1{YXP。25.设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为其它.,0,10,1)(xxfX.000)(y,,y,eyfyY试求随机变量Z=X+Y的概率密度。26.设随机变量（X，Y）的概率密度为),2exp(21),(2222yxyxfyx,。求22YXZ的概率密度。27.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。28.设随机变量X的概率质量函数为X-202kp0.40.30.3求)(),(),(53XEXEXE22。29.设X服从二项分布，其概率质量函数为.10.,,2,1,0,)1(pnkppknkXPknk求)(XE和)(XD。30.设X服从泊松分布，其概率质量函数为.0,,2,1,0,!kkekXPk求)(XE和)(XD。31.设X服从均匀分布，其概率密度函数为，其它0,,1)(，bxaabxf求)(XE和)(XD。32.设X服从正态分布，其概率密度函数为xxf,02-xexp21)(22，。求)(XE和)(XD。33.有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E[X]，D[X]。34.对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：（1）),(2)()()(YXCovYDXDYXD；（2）)()()(),(YEXEXYEYXCov。35.设随机变量X的概率密度函数为000x,x,ef(x)x。求（1）Y=2X，（2）xeY2的数学期望。36.设随机变量（X，Y）的概率密度函数为其它，,x,y,xK,y)f(x,0010试确定出常数K，并求)XY(E。37.已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。38.设随机变量X的概率密度函数为000x,x,e)x(fx，其中0为常数。求)(XE和)(XD。39.设随机变量X的概率密度函数为0,00),2exp()(222xxxxxf，其中0为常数。求)(XE和)(XD。40.设随机变量X的概率质量函数为1kpqkXP，,,k21。其中pq,p110为常数，则称X服从参数为p的几何分布。试求)(XE和)(XD。41.设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.202081y,x,)yx()y,x(f。求)(XE、)Y(E、)Y,X(Cov。42.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？43.(1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。(2)一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。44.某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。