《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】3.3.2

3.3.2极大值与极小值一、基础过关1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有________个．2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号)①导数值为0的点一定是函数的极值点；②函数的极小值一定小于它的极大值；③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．3．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)的极大值为________．4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.5．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间－3，－12内单调递增；②函数y＝f(x)在区间－12，3内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－12时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)二、能力提升8．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x3－22x－12.11．已知f(x)＝x3＋12mx2－2m2x－4(m为常数，且m0)有极大值－52，求m的值．12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．答案1．12．④3．54．1－35．36．97．③8．99．1a410．解(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∵f′(x)＝x－22x＋12x－13，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－＋0＋f(x)－383故当x＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f(－1)＝－38.11．解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝23m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－m(－m，23m)23m(23m，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋12m3＋2m3－4＝－52，∴m＝1.12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值0或f(x)极小值0，即527＋a0或a－10，∴a－527或a1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a23，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a23，则－2aa－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.