《概率论与随机过程》第6章习题解答

1第6章习题答案6.1设)(tx为实函数，试证（1）)(tx为t的奇函数时，它的希尔伯特变换为t的偶函数；（2）)(tx为t的偶函数时，它的希尔伯特变换为t的奇函数。证明（1）：)(tx=)(txttxtx1)()(ˆ)(ˆ1)(1)()(1)()(1)()(ˆtxttxttxttxttxtx（2）)(tx=)(tx)(ˆ1)()(1)()(1)()(ˆtxttxttxttxtx6.3设)(tat是具有频谱)(A的已知实函数，假定||时，)(A=0，且满足0，求（1）tta0cos)(和)exp()(210tjta的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系；（2）tta0sin)(和)exp()(20tjtaj的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系；（3）tta0cos)(和tta0sin)(的傅立叶变换关系。解：（1）ttatx0cos)()(且)exp()(21)(0tjtaty)]()([21)(00AAX)(21)(0AY（2）ttatx0sin)()(且)exp()(2)(0tjtajty)]()([2)(00AAjX)(2)(0AjY6.4对于窄带平稳随机过程ttYttXtZ00sin)(cos)()(。若已知0cos)()(aRZ，求证：)()(aRX。解法一、证：ttYttXtZttYttXtZ0000cos)(sin)()(ˆsin)(cos)()(，故有ttZttZtYttZttZtX0000sin)(cos)(ˆ)(sin)(ˆcos)()(2)()()(tXtXERX)(sin)(ˆ)(cos)(sin)(ˆcos)(0000ttZttZttZttZE)(cossin)()(sincos)()(sinsin)()(coscos)(00ˆ00ˆ00ˆ00ttRttRttRttRZZZZZZ又因为任一实平稳随机过程)(tZ与其希尔伯特变换)(ˆtZ满足：)()(ˆZZRR，)(ˆ)(ˆZZZRR，)(ˆ)(ˆZZZRR。故，0000000000sin)(ˆcos)()](cossin)(sin)[cos(ˆ)](sinsin)(cos)[cos()(ZZZZXRRttttRttttRR由0cos)()(aRZ，可得0sin)()(ˆaRZ，代入上式得：)(sin)(cos)()(0202aaaRX,证毕。解法二、证：)()()(tZtZERZ)(sin)()(cos)(sin)(cos)(0000ttYttXttYttXE)(cossin)()(sincos)()(sinsin)()(coscos)(00000000ttRttRttRttRYXXYYX由窄带平稳随机过程的性质可得：)()()(),()(XYXYYXYXRRRRR故，00sin)(cos)()(XYXZRRR（1）00cos)(sin)()(ˆXYXZRRR（2）由式（1）和式（2）可以解得：00sin)(ˆcos)()(ZZXRRR（3）0cos)()(aRZ，由希尔伯特变换得：0sin)()(ˆaRZ将上式代入式（3）得：)(sin)(cos)()(0202aaaRX，证毕。6.5对于窄带平稳随机过程，按6.4题所给条件，求证：0)]()([tYtXE。证明：设ttYttXtZ00sin)(cos)()(ttYttXtZ00cos)(sin)()(ˆttZttZtX00sin)(ˆcos)()(ttZttZtY00sin)(cos)(ˆ)(0000ˆ0000ˆ00ˆsincos)(ˆ)(sinsin)()(sincos)()(cossin)()(coscos)()]()([)(ZZZZZZZZXYRRtRtRtRtRtYtXER0cos)()(taRZ0sin)()(ˆtaRZ30)]()([tYtXE6.10．已知)(tX为信号与窄带高斯噪声之和，)()cos()(0tNtatX，式中，是)2,0(上均匀分布的随机变量，)(tN为窄带平稳高斯过程，且均值为零，方差为2，并可表示为ttNttNtNsc00sin)(cos)()(，求证：)(tX的包络平方的自相关函数为4224222444()[()()()]CCcsXNNNNRaaaRRR。(提示：对于合高斯随机变量)(tZ，存在][][][][][][][3241423143214321zzEzzEzzEzzEzzEzzEzzzzE)证明：ttNttNtatXsc000sin)(cos)()cos()(ttNattNattNttNtatascsc000000sin)](sin[cos)](cos[sin)(cos)(sinsincoscos包络的平方222)](sin[)](cos[)()(tNatNatXtYsc)()()(sin2)(cos2222tNtNtNatNaascsc)()()()()()()()()()()()([)]()([)(2222222222222224tNtNtNtNtNatNtNtNtNNatNatNaaEtYtYERsscsssccccscY)]()(sin4)()(cos42222tNtNatNtNasscc)(2)]()([2422cNccRtNtNE)(2)]()([2422sNssRtNtNE)(2)]()([2422sCNNscRtNtNE)(2)]()([2422csNNcsRtNtNE4224222444()[()()()]csXNcNcNNRaaaRRR