《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修1待定系数法

2.2.3待定系数法一、基础过关1．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向下平移h个单位，沿x轴向左平移k个单位得到y＝x2－2x＋3的图象，则h，k的值分别为()A．－2，－1B．2，－1C．－2,1D．2,12．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为()A．2,3B．2，－3C．－2,3D．－2，－33．已知二次函数的图象顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则函数的解析式为()A．y＝2(x－2)2－1B．y＝2(x＋2)2－1C．y＝2(x＋2)2＋1D．y＝2(x－2)2＋14．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2D．－3≤a≤－25．二次函数的图象与x轴交于A(－2,0)，B(2,0),并且在y轴上的截距为4，则函数的解析式为________________________________________________________________________．6．如图所示，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A、B两点，且OA＝3OB，则m＝________.7．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，求方程f(ax＋b)＝0的解集．二、能力提升9．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图中的()10．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤02，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．0411．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．12．已知二次函数f(x)对一切x∈R，有f(2－x)＝f(x)，f(－1)＝0，且f(x)≥－1.(1)求二次函数的解析式；(2)若直线l过(1)中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求l在y轴上的截距．三、探究与拓展13．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．答案1．A2．A3．A4．A5．y＝－x2＋46．07．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之，得a＝－4，b＝4，c＝7，∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8.∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知：f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a－2a－1－a24a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.8．解∵f(x)＝x2＋2x＋a，∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.则有b2＝9，2b＝－6，a＝2，即b＝－3，a＝2.∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.∵Δ＝64－800，∴方程f(ax＋b)＝0无实根．9．D10．C11．f(x)＝12x＋32或f(x)＝－12x＋5212．解(1)由f(2－x)＝f(x)，得二次函数图象的对称轴为x＝1，由f(x)≥－1对一切x∈R成立，得二次函数的最小值为－1.设二次函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2－1，∵f(－1)＝0，∴4a－1＝0，∴a＝14，∴f(x)＝14(x－1)2－1＝14x2－12x－34.(2)设直线l的解析式为g(x)＝kx＋b.由(1)知，抛物线顶点为C(1，－1)，由14x2－12x－34＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴l过点A(－1,0)，∴k＋b＝－1－k＋b＝0，解得k＝－12b＝－12，∴一次函数为y＝－12x－12.在y轴上的截距为b＝－12.13．解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2a＋b＝0，∴a＝1b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋12x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－32)2－54－m，其对称轴为x＝32，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m0，∴m－1.