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综合检测一、选择题1.已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.已知点A(1,2,-1),点C与点A关于平面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则线段BC的长为()A.22B.4C.25D.273.直线3ax-y-1=0与直线(a-23)x+y+1=0垂直,则a的值是()A.-1或13B.1或13C.-13或-1D.-13或14.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于()A.33B.23C.3D.15.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于()A.-3B.3C.-6D.66.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+65B.30+65C.56+125D.60+1257.设实数x、y满足(x-2)2+y2=3,那么yx的最大值是()A.12B.33C.32D.38.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则下列结论不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面9.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是()A.一个平面B.一条直线C.一个圆D.一个球10.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(1,3)11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22二、填空题12.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,3),B(-2,-23),则直线l1,l2的位置关系是________.13.过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.14.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.三、解答题15.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时,两条直线的方程.16.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.17.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).(1)求过点A的圆的切线方程;(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.18.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:(1)AE⊥平面BCE;(2)AE∥平面BFD.19.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.20.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证:(1)BG⊥平面PAD;(2)AD⊥PB.答案1.C2.B3.D4.B5.B6.B7.D8.D9.B10.A11.A12.平行或重合13.(2,2)14.3315.解(1)如图所示,显然有0d≤|AB|.而|AB|=6+32+2+12=310.故所求的d的变化范围为(0,310].(2)由图可知,当d最大时,两直线垂直于AB.而kAB=2--16--3=13,∴所求的直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0和3x+y+10=0.16.证明(1)如图所示,连接AC,AC交BD于点O,连接EO.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂平面ABCD,∴PD⊥DC.∵PD=DC,∴△PDC是等腰直角三角形.又DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC.又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.17.解(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.①当切线的斜率不存在时,有直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件.②当k存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0,故|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴方程为y-5=34(x-3),即3x-4y+11=0.综上,所求直线方程为x=3或3x-4y+11=0.(2)|AO|=9+25=34,lAO:5x-3y=0,点C到直线OA的距离d=134,S=12d|AO|=12.18.证明(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,则AE⊥BC,又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF,∴AE⊥平面BCE.(2)连接AC与BD交于G点,则G是AC的中点,∵BF⊥平面ACE,则CE⊥BF,而BC=BE,∴F是EC的中点,在△AEC中,FG∥AE,∴AE⊄平面BFDFG⊂平面BFDFG∥AE⇒AE∥平面BFD.19.解(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零,∴设切线方程为x+y=a(a≠0),又∵圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,∴圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆的半径2,∴|-1+2-a|2=2⇒a=-1,或a=3,则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(2)∵切线PM与半径CM垂直,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,∴(x1+1)2+(y1-2)2-2=x21+y21,∴2x1-4y1+3=0,∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0.|PM|的最小值就是|PO|的最小值,而|PO|的最小值为O到直线2x-4y+3=0的距离d=3510.此时P点的坐标为(-310,35).20.证明(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,所以AD⊥平面PBG,又PB⊂面PBG,所以AD⊥PB.
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