《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-1综合测试一

综合测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋140，则綈p为()A．∀x∈R，x2－x＋14≤0B．∃x∈R，x2－x＋14≤0C．∃x∈R，x2－x＋140D．∀x∈R，x2－x＋14≥02．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是()A．4B．22C．8D．与m有关3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.532B.212C.372D.3524．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.456．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6OP→＝OA→＋2OB→＋3OC→，则()A．四点O、A、B、C必共面B．四点P、A、B、C必共面C．四点O、P、B、C必共面D．五点O、P、A、B、C必共面7．若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为()A．1≤a≤3B．－1≤a≤3C．－3≤a≤3D．－1≤a≤18．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.929.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP→＝12BA→－12BC→＋BD→，则|BP→|2的值为()A.32B．2C.10－24D.9410．已知命题p：“若ab0，则21loga21logb＋1”，则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．411．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为()A.24B.23C.33D.3212．过M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12二、填空题(每小题4分，共16分)13.在四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________.(用a，b，c表示)14．命题p：若a，b∈R，则“ab＝0”是“a＝0”的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有________．15．设F1、F2是椭圆x23＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝________.16.如图，已知A(－3p,0)(p0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足AB→·BQ→＝0，BC→＝12CQ→，则动点Q的轨迹方程为____________．三、解答题(共6个小题，共74分)17．(12分)已知命题p：不等式|x－1|m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．18．(12分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标．19．(12分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的离心率为22，且a2＝2b.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．20．(12分)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.21．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E点满足PE→＝13PD→.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角E—AC—D的正切值；(3)在线段BC上是否存在点F使得PF∥平面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由．22．(14分)已知椭圆x22＋y24＝1与射线y＝2x(x≥0)交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点为点B和点C.(1)求证：直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；(2)求△ABC面积的最大值．答案1．B2．C3．D4．A5．C6．B7．B8．A9．D10．B11．C12．D13.12a＋14b＋14c14．p∨q，綈p15.3516．y2＝4px(p0)17．解由于不等式|x－1|m－1的解集为R，所以m－10，m1；又由于f(x)＝－(5－2m)x是减函数，所以5－2m1，m2.即命题p：m1，命题q：m2.又由于p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．当p真q假时应有m1，m≥2，m无解．当p假q真时应有m≥1，m2，1≤m2.故实数m的取值范围是1≤m2.18．解椭圆的方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1.∵m－mm＋3＝mm＋2m＋30，∴mmm＋3，即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝mm＋2m＋3.由e＝32，得m＋2m＋3＝32，∴m＝1，∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1，∴a＝1，b＝12，c＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点分别为F1－32，0，F232，0，四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.19．解(1)由题意得ca＝22，a2＝2b，b2＝a2－c2，解得a＝2，c＝1，b＝1，故椭圆的方程为x2＋y22＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．联立直线与椭圆的方程得x2＋y22＝1，x－y＋m＝0，即3x2＋2mx＋m2－2＝0，所以x0＝x1＋x22＝－m3，y0＝x0＋m＝2m3，即M－m3，2m3，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，所以－m32＋2m32＝5，解得m＝±3.20．证明如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．因为OB→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OB→＝8x＝0，n·OE→＝－4y＋3z＝0，解得x＝0,4y＝3z，令z＝4，则n＝(0,3,4)，所以平面BOE的一个法向量为n＝(0,3,4)．由FG→＝(－4,4，－3)，得n·FG→＝0，又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.21．(1)证明在正方形ABCD中，AB⊥BC，又∵PB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.同理CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD.(2)解由(1)知AB、AD、AP两两垂直，故以A为原点，AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建系，如图．则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E0，23，43，AC→＝(2,2,0)，AE→＝0，23，43.设m＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，则2x＋2y＝0，23y＋43z＝0，取z＝1，得y＝－2，x＝2，∴m＝(2，－2,1)．又AP→＝(0,0,2)是平面ACD的一个法向量，∴cos〈AP→，m〉＝22×3＝13.∴tan〈AP→，m〉＝22，即二面角E—AC—D的正切值为22.(3)解假设存在满足条件的F点，设F(2，a,0)(0≤a≤2)，则PF→＝(2，a，－2)．由(2)知平面ACE的一个法向量m＝(2，－2,1)．要使PF∥平面ACE，只需PF→·m＝0即可．∴(2，－2,1)·(2，a，－2)＝0，解得a＝1.∴F(2,1,0)，即F是BC的中点．22．(1)证明由x22＋y24＝1，y＝2xx≥0得A(1，2)．设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为－k.直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，①直线AC的方程为y＝－k(x－1)＋2，②将①代入椭圆方程并化简得(k2＋2)x2－2(k－2)kx＋k2－22k－2＝0.∵1和xB是它的两个根，∴xB＝k2－22k－2k2＋2，yB＝kxB＋2－k＝－2k2－4k＋22k2＋2.同理可得xC＝k2＋22k－2k2＋2，yC＝－2k2＋4k＋22k2＋2.∴kBC＝yB－yCxB－xC＝2.(2)解设直线BC的方程为y＝2x＋m，代入椭圆方程并化简得4x2＋22mx＋m2－4＝0，|BC|＝3|x1－x2|＝316－2m22.∵A到BC的距离为d＝|m|3，∴S△ABC＝m216－2m24≤142·2m2＋16－2m22＝2，当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时，上式“＝”成立．故△ABC面积的最大值为2.