《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-1综合测试二

综合测试(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋10”的否定是()A．不存在x∈R,2x4－x2＋10B．存在x∈R,2x4－x2＋10C．存在x∈R,2x4－x2＋1≥0D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥02．命题“若ab，则acbc(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．4B．3C．2D．03．下列双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是()A.x23－y2＝1和－x23＋y29＝1B.x23－y2＝1和－x23＋y2＝1C．y2－x23＝1和x2－y23＝1D.x23－y2＝1和x29－y23＝14．若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)且(a＋λb)⊥b，则实数λ的值是()A．0B．1C．－1D．25．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于()A.3B.32C.83D.237．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A．椭圆B．圆C．双曲线的一支D．线段8．已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为()A．－4B．1C．10D．119．已知a＝(t＋1,1，t)，b＝(t－1，t,1)，则|a－b|的最小值为()A.2B.3C．2D．410．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值是()A.12B.22C．－12D．011．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点是F1、F2，以F1F2为边作正三角形PF1F2，若椭圆与PF1、PF2的交点恰好为PF1、PF2的中点，则椭圆的离心率为()A.12(3－1)B．4(2－3)C.3－1D.14(2＋3)12.如右图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()二、填空题(每小题4分，共16分)13．命题：“若ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是______________．14．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋90”为假命题，则实数a的取值范围是____________．15．在双曲线x2a2－y2b2＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．16．若方程x24－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1t4且t≠52；②若C为双曲线，则t4或t1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1t32.其中正确的命题是________．三、解答题(本大题共6小题，满分74分)17．(12分)双曲线的离心率等于3，且与椭圆x216＋y27＝1有相同的焦点，求此双曲线方程．18．(12分)已知命题p：方程x22m－y2m－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25－x2m＝1的离心率e∈(1,2)，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19．(12分)设坐标原点为O，抛物线x2＝2py(p≠0)与过焦点的直线交于A，B两点，试求向量OA→与OB→的数量积．20．(12分)如图，棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点．(1)求证：CF∥平面A1DE；(2)求二面角E—A1D—A的余弦值．21．(12分)正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y2＝4x上，一条对角线BD在直线y＝－12x＋2上．(1)求AC所在的直线方程；(2)求正方形ABCD的面积．22．(14分)已知动直线l与椭圆C：x23＋y22＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)不同两点，且△OPQ的面积S△OPQ＝62，其中O为坐标原点．证明：x21＋x22和y21＋y22均为定值．答案1．C2．D3．D4．B5．A6．B7．A8．D9．C10．D11．C12．C13．若a，b至少有一个为零，则ab等于零14．[－22，22]15．516．①②17．解因为椭圆x216＋y27＝1的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为c＝3，又双曲线的离心率等于3，即ca＝3，解得a＝1.所以b2＝c2－a2＝32－12＝8.故所求双曲线方程为x2－y28＝1.18．解p：02m1－m⇒0m13，q：15＋m52⇒0m15，p∧q为假，p∨q为真⇒p假q真或p真q假．p假q真⇒m≤0或m≥130m15⇒13≤m15，q假p真⇒0m13m≤0或m≥15⇒m∈∅.综上可知，实数m的取值范围为13≤m15.19．解抛物线x2＝2py(p≠0)的焦点坐标为0，p2.由题意，可设两点所在的直线方程为y－p2＝kx，与抛物线方程联立消去y，得x2－2pkx－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2.所以y1y2＝kx1＋p2kx2＋p2＝14p2.所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝－34p2.20．(1)证明分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)、A1(2,0,2)、E(1,2,0)、D(0,0,0)、C(0,2,0)、F(0，0,1)，从而DA1→＝(2,0,2)，DE→＝(1,2,0)．设平面A1DE的法向量是n＝(a，b，c)，则n·DA1→＝2a＋2c＝0，n·DE→＝a＋2b＝0，取b＝1.得n＝(－2,1,2)是平面A1DE的一个法向量．CF→＝(0，－2,1)，所以CF→·n＝－2＋2＝0.所以CF→⊥n.又点C不在平面A1DE上，所以CF∥平面A1DE.(2)解因为CD⊥平面AA1D，所以DC→＝(0,2,0)是平面AA1D的一个法向量．设两法向量的夹角为θ，因为cosθ＝DC→·n|DC→||n|＝13，所以二面角E—A1D—A的余弦值为13.21．解(1)由题意可知：AC⊥BD.设AC所在的直线方程为y＝2x＋b，由y＝2x＋by2＝4x得：4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝1－b，x1＋x22＝1－b2.∴AC的中点M1－b2，1.又M∈BD，∴1－b4＝1.∴b＝－3.经检验符合题意．所以，AC所在的直线方程为2x－y－3＝0.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由(1)得：x1＋x2＝4，x1x2＝94.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝7.∴|x1－x2|＝7.∴|AC|＝1＋22|x1－x2|＝35.∴SABCD＝12|AC|2＝352.22．证明①当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x2＝x1，y2＝－y1.因为P(x1，y1)在椭圆上，因此x213＋y212＝1.①又因为S△OPQ＝62，所以|x1|·|y1|＝62.②由①②得|x1|＝62，|y1|＝1，此时x21＋x22＝3，y21＋y22＝2.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由题意知m≠0，将其代入x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)0，即3k2＋2m2.(*)又x1＋x2＝－6km2＋3k2，x1x2＝3m2－22＋3k2，所以|PQ|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·263k2＋2－m22＋3k2.因为点O到直线l的距离为d＝|m|1＋k2，所以S△OPQ＝12|PQ|·d＝121＋k2·263k2＋2－m22＋3k2·|m|1＋k2＝6|m|3k2＋2－m22＋3k2.又S△OPQ＝62，整理得3k2＋2＝2m2，且符合(*)式，此时x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6km2＋3k2)2－2×3m2－22＋3k2＝3，y21＋y22＝23(3－x21)＋23(3－x22)＝4－23(x21＋x22)＝2，综上所述，x21＋x22＝3，y21＋y22＝2，结论成立．