《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修2-1【配套备课资源】2.5直线与圆

§2.5直线与圆锥曲线一、基础过关1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝12．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于()A．1B．－1C．±1D．±23．双曲线y2b2－x2a2＝1(a，b0)的一条渐近线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)交于点M、N，则|MN|等于()A．a＋bB.2aC.2a2＋b2D.2a2－b24．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.5．过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为__________________．二、能力提升6．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是()7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－14B．－12C.14D.128．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y204x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C()A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公共点也可能有两个公共点D．没有公共点9．若倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．11．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A、B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为10，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点.12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k(k≠0)的直线l，与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0－3；(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时的k值；若不能，请说明理由．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案1．D2．C3．C4．85．x＝0或y＝1或y＝12x＋16．C7．B8．D9．x＋4y＝0－455x45510．解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近d＝|16－8|32＋－22＝813＝81313，切点为P32，－74.11．(1)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得y＝kx＋1y2＝－x，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2k2＋1k2，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·1k4＋4k2，由点到直线距离公式d＝|k|1＋k2，得S△OAB＝12|AB|·d＝121k2＋4＝10，解得k＝±16.(2)证明∵kOA＝y1x1，kOB＝y2x2，∴kOA·kOB＝y1y2x1x2.∵y21＝－x1，y22＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，∴kOA·kOB＝1y1y2，又y＝kx＋1y2＝－x，得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，∴以弦AB为直径的圆必过原点．12．(1)解由y2＝－4x可得准线方程为x＝1，∴M(1,0)．设l的方程为y＝k(x－1)，联立y＝kx－1，y2＝－4x，得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0.∵A、B存在，∴Δ＝4(k2－2)2－4k40，∴－1k1.又k≠0，∴k∈(－1,0)∪(0,1)．(2)证明设P(x3，y3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x3＝x1＋x22＝k2－2k2，y3＝kx1＋x22－1＝－2kk2＝－2k.即y＋2k＝－1kx－k2－2k2.令y＝0，x0＝－2k2－1，∵k2∈(0,1)，∴x0－3.(3)解假设存在以EF为底的等腰△PEF，∴点P在线段EF的垂直平分线上，∴2x3＝－1＋－1－2k2，∴2·k2－2k2＝－2－2k2，解得k＝±22，∴△PEF可以成为以EF为底的等腰三角形，此时k值为±22.13．解假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1＋x22＝1，y1＋y22＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且2x21－y21＝2，2x22－y22＝2两式相减，得(2x21－2x22)－(y21－y22)＝0，∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.若直线Q1Q2⊥Ox，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，所以直线Q1Q2有斜率，于是k＝y1－y2x1－x2＝2.∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由y＝2x－1，2x2－y2＝2得2x2－(2x－1)2＝2，即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－240.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．