《复变函数与积分变换》期末考研重点复习试题

工程数学（数值计算）习题课[例15-1]求0122xx的Newton迭代法格式为：，收敛阶为：。[解]（1）221221kkkkkxxxxx，（2）收敛阶为：1（线性收敛）。[例15-2]下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。（1）x=(cosx+sinx)/4；（2）x=4–2x[解]：（1）能（2）不能2ln)4ln(1nnxx[例21]设f(x)=(x3−a)2，（1）写出解f(x)=0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。[解]：（1）因f(x)=(x3-a)2，故f'(x)=6x2(x3-a)。由Newton迭代公式：1'(),0,1,2,()kkkkfxxxkfx得：321232()5,0,1,2,6()66kkkkkkkxaaxxxkxxax（2）上述迭代格式对应的迭代函数为25()66axxx，于是'35()63axx，又3*ax，则有'*335511()()163632axa且0，故此迭代格式是线性收敛的。[例22]用牛顿法求f(x)=x3–3x–1=0在x0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x=1.87938524）。[解]：因为f(x)=x3–3x–1=0，所以f'(x)=3x2–3由牛顿公式可得：取初值x0=2，计算结果见下表：故f(x)=x3–3x–1=0的根近似值为x≈1.879。[例25]用快速弦截法求x3–3x–1=0在x0=2附近的实根，设取x1=1.9，算到四位有效数字为止。[解]：设f(x)=x3–3x–1，由快速弦截公式：即：3)(12112111kkkkkkkkkxxxxxxxxx取x0=2，x1=1.9计算结果见下表：故f(x)=x3–3x–1=0的根近似值为x≈1.879。[例32]给出数据点：013419156iixy（1）用012,,xxx构造二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算x=1.5的近似值2(1.5)L。[解]：（1）由Lagrange插值得：2220()()-1.66679.66671iiiLxylxxx于是：2(1.5)11.75L[例33]已知f(0)=1，f(1)=2，f(2)=4，求f(x)的二次插值多项式。[解]：[例38]给定正弦函数表如下：x0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.564640.64422用二次插值求sin0.57891的近似值。[解]：用二次插值选取x0=0.5，x1=0.6，x2=0.7，按抛物线插值公式有：计算得：sin0.57891≈0.54714，（准确值sin0.57891=0.547111……）[例40]已知函数e-x的下列数据用逐步插值方法求x=0.2的值。[解]：当x=0.2，按逐步插值公式计算结果见下表：故e-0.2≈0.81873，（准确值0.818731）[例48-1]计算积分15.0dxx，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为：（0.9571）；梯形公式的代数精度为：（1）。[例49]证明求积公式))()((12)())()((2)(''2afbfabbfafabdxxfba的代数精度是3。[50]Findtheconstants01,ccand1xsothatthequadratureformula（求积公式）10110()(0)()fxdxcfcfxhasthehighestpossibledegreeofprecision(代数精度).Solution.Making10110()(0)()fxdxcfcfxholdforeach2()1,,fxxxgives01112111,1/2,1/3cccxcxSolvingtheequationsfor01,ccand1xyields011/4,3/4ccand12/3x.Since133301101/42/90xdxccx,weseethatthequadratureformula10132()(0)()443fxdxffhasthedegreeofprecision2.[例53]分别用梯形公式和辛卜生公式计算积分1024dxxx，（n=8），并比较结果。[解]：由复化梯形公式：)]()(2)([2111bfxfafhTnkkn和复化辛卜生公式：)]()(2)(4)([6111212bfxfxfafhSnkknkkn则125.08011h，25.04012h所以1114.07822.18218T，1116.06774.2625.04S计算结果见下表：注释：1024dxxx的精确解为111572.045ln21。[例57]用龙贝方法求积分要求误差ε10-5。[解]：按公式再按公式计算，结果见下表：即：故：（准确值为0842701）[例62]取步长h=0.1用改进的欧拉格式解初值问题1)0(10'yxyxy试将计算结果与准确解相比较。[解]：改进的欧拉格式是：)(5.0)(1.0)(1.011cpipiiciiipyyyyxyyyxyy计算结果见下表：本问题有解析解：y=2ex-x-1，按此解析式子算出的值列在上表的第6列，以便和改进欧拉计算结果作比较。此题也可按整理后的格式（只有3次乘法）yi+1=0.055xi+0.05xi+1+1.105yi计算。[例63]UseEuler’smethodtoapproximatethesolutionfortheinitial-valueproblem：21(),23,(2)1,dytytydtwith0.5h.[Solution]TheEuler’sschemeisgivenby021(2)1,[1()].iiiiwywwhtwUsing0100.5,2,2.5httthgives221000[1()]10.5[1(21)]2wwhtw222111[1()]20.5[1(2.52)]2.625wwhtw[例65]取步长h=0.2用四阶龙格-库塔格式求解1)0(10)1/(3'yxxyy[解]：四阶龙格-库塔格式是：yi+1=yi+0.2(K1+2K2+2K3+K4)/6其中：K1=3yi/(1+xi)，K2=3(yi+0.1K1)/(1.1+xi)，K3=3(yi+0.1K2)/(1.1+xi)，K4=3(yi+0.2K3)/(1.2+xi)。计算结果见下表：[例71]用塞德尔迭代法（迭代五次）解方程组3410851210454321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx并与准确解x1=1，x2=2，x3=3，x4=4相比较。[解]：收敛的塞德尔迭代格式为：取初始值：0)0(1x，0)0(2x，0)0(3x，0)0(4x计算结果见下表：[例75]用Gauss消去法解方程组：96.05.696.00.502.036.05.40.20.61.31.150.0zyxzyxzyx[解]：用Gauss消去法求解如下表：故方程组的解为：x=-2.6，y=1，z=2。