《应用数理统计》吴翊李永乐第四章回归分析课后作业参考答案

第四章回归分析课后作业参考答案4.1炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：ix68537084607251837064iy288298349343290354283324340286(1)求y对x的回归方程(2)检验回归方程的显著性(05.0)(3)求y在x=65处的预测区间(置信度为0.95)解：(1)1、计算结果一元线性回归模型xy10只有一个解释变量其中：x为解释变量，y为被解释变量，10,为待估参数，位随机干扰项。685.222,959.4116,541.35555.76725.19745.109610,5.3151,5.671221212112121211nQULQLLUynyyyLyxnyxyyxxLxnxxxLnynyxnxeeyyexxxyniiniiyyniiiniiixyniiniixxniinii使用普通最小二乘法估计参数10,上述参数估计可写为95.193ˆˆ,80.1ˆ101xyLLxxxy所求得的回归方程为：xy80.195.193ˆ实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加1.80个单位。2、软件运行结果根据所给数据画散点图9080706050xi360340320300280yi由散点图不能够确定y与x之间是否存在线性关系，先建立线性回归方程然后看其是否能通过检验线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间值学生残差值下限上限1常数项193.95146.7964.1450.00386.039301.862x1.8010.6850.6812.6290.0300.2213.381由线性回归分析系数表得回归方程为：xy801.1951.193ˆ，说明x每增加一个单位，y相应提高1.801。(2)1、计算结果①回归方程的显著性检验(F检验):0H线性回归效果不显著:1H线性回归效果显著91.62/nQUFe在给定显著性水平05.0时，FFnF32.58,12,195.01，所以拒绝0H，认为方程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验(t检验)0:10H0:11H628.22/ˆ1nQLtexx在给定显著性水平05.0时，ttnt306.282975.021，所以拒绝0H，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。③回归方程的线性显著性检验(r检验):0Hx与y线性无关:1Hx与y线性相关681.0yyxxxyLLLr在给定显著性水平05.0时，rrnr6319.08295.01，所以拒绝0H，认为x与y之间具有线性关系。2、软件运行结果模型摘要模型R2R修正的2R估计的学生误差10.681(a)0.4630.39622.685由上表得r=0.681，说明y和x的之间具有线性关系。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1回归平方和3555.54113555.5416.9090.030(a)残差平方和4116.9598514.620总平方和7672.5009由方差分析表知，p值小于给定的α，说明回归方程通过F检验，回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间值学生残差值下限上限1常数项193.95146.7964.1450.00386.039301.862x1.8010.6850.6812.6290.0300.2213.381由线性回归分析系数表知，p值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。(3)当0x=65时，代入上述回归方程得0y=310.996xxeLxxnntx2010112ˆ在1-的置信度下，0y的置信区间为0000ˆ,ˆxyxy95%置信度下的预测区间为[255.988366.004]。4.2在硝酸钠(3NONa)溶解度试验中，对不同温度Ct0测得溶解于100ml的水中的硝酸钠重量y的观测值如下:it0410152129365168iy66.771.076.380.685.792.999.9113.6125.1(1)求回归方程(2)检验回归方程的显著性(3)求y在Ct025时的预测区间(置信度为0.95)解：(1)1、计算结果一元线性回归模型xy10只有一个解释变量其中：t为解释变量，y为被解释变量，10,为待估参数，位随机干扰项。015.12,208.7,25.308646.30938.353940609,2.901,261221212112121211nQULQLLUynyyyLyxnyxyyxxLxnxxxLnynytnteeyyexxxyniiniiyyniiiniiixyniiniixxniinii使用普通最小二乘法估计参数10,上述参数估计可写为5313.67ˆˆ,8719.0ˆ101xyLLxxxy所求得的回归方程为：ty8719.05313.67ˆ实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为67.5313，温度每升高一度，溶解度增加0.8719。2、软件运行结果根据所给数据画散点图706050403020100ti130.0120.0110.0100.090.080.070.060.0yi由散点图可以看出y与t之间存在线性关系，因此建立线性回归模型如下线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间值学生残差值下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表得回归方程为：ty872.0531.67ˆ，说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。(2)1、计算结果①回归方程的显著性检验(F检验):0H线性回归效果不显著:1H线性回归效果显著359.29962/nQUFe在给定显著性水平05.0时，FFnF59.57,12,195.01，所以拒绝0H，认为方程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验(t检验)0:10H0:11H735.542/ˆ1nQLtexx在给定显著性水平05.0时，ttnt3646.272975.021，所以拒绝0H，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。③回归方程的线性显著性检验(r检验):0Ht与y线性无关:1Ht与y线性相关999.0yyxxxyLLLr在给定显著性水平05.0时，rrnr6664.07295.01，所以拒绝0H，认为t与y线性相关。2、软件运行结果模型摘要模型R2R修正的2R估计的学生误差10.999(a)0.9980.9971.0147由上表得r=0.999，说明y和t之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1回归平方和3086.25213086.2522997.2870.000(a)残差平方和7.20871.030总平方和3093.4608由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间值学生残差值下限上限1常数项67.5310.535126.3090.00066.26768.796t0.8720.0160.99954.7470.0000.8340.910由线性回归分析系数表知，p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。(3)当0x=25时，代入上述回归方程得0y=89.328xxeLxxnntx2010112ˆ在1-的置信度下，0y的置信区间为0000ˆ,ˆxyxy95%置信度下的预测区间为[86.811391.8450]。4.3对同一个问题，两人分别在做线性回归。甲：取样本值111,,2,1,,niyxii，得回归方程xbay11ˆˆˆ乙：取样本值222,,2,1,,niyxii，得回归方程xbay22ˆˆˆ(1)如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平)？(2)若相等，如何求一个共同的回归方程？解：①检验222101:H若1,121212221nnFQQFee，则拒绝01H其中2221eeQQ②检验2102:bbH若411ˆˆˆ2121212211nntLLbbtxxxxe，则拒绝02H其中4ˆ212221nnQQeee③检验2103:aaH若411ˆˆˆ21212121212211nntLxLxnnaatxxxxe，则拒绝03H这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。(2)共同的回归方程为：xbayˆˆˆ其中，2211222121ˆˆˆxxxxxxxxLLLbLbb2122112121221122112221ˆˆˆˆnnxnxnLLLbLbnnynynxbyaxxxxxxxx4.6某化工厂研究硝化得率y与硝化温度1x、硝化液中硝酸浓度2x之间的统计相关关系。进行10次试验，得实验数据如下表：Cxi0116.519.715.521.420.816.623.114.521.316.4%2ix93.490.886.783.592.194.989.688.187.383.4%iy90.9291.1387.9588.5790.4489.8791.0388.0389.9385.58试求y对21,xx的回归方程。解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验模型摘要模型R2R修正的2R估计的学生误差10.927(a)0.8590.8190.76066由上表得r=0.927，说明y和x的之间线性关系显著。方差分析表模型平方和自由度平均平方值F值P值1回归平方和24.724212.36221.3650.001(a)残差平方和4.05070.579总平方和28.7749由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。线性回归分析的系数模型非标准化系数标准化系数T值P值95%系数的置信区间值学生残差值下限上限r1常数项51.7986.0798.5210.00037.42466.172x10.3360.0850.5643.9720.0000.1360.536x20.3520.0650.7705.4230.0000.1980.505由线性回归分析系数表知，1x和2x的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度和硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。最后得到的回归方程为：21352.0336.0798.51ˆxxy说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%；硝化液中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加0.352%。4.4某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y(3/kgcm)的影响，测得如下数据ix150160170180190200210220230240250260iy56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.6