《第1章导数及其应用》2010年单元测试卷(巴蜀中学)(文科)

《第1章导数及其应用》2010年单元测试卷（巴蜀中学）（文科）导数及其应用一、选择题1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4B．y=﹣3x+2C．y=﹣4x+3D．y=4x﹣52．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值1B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣2，极大值2D．极小值﹣1，极大值33．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15B．5，﹣4C．﹣4，﹣15D．5，﹣164．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点5．设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（）A．f（x）的极值点一定是最值点B．f（x）的最值点一定是极值点C．f（x）在此区间上可能没有极值点D．f（x）在此区间上可能没有最值点6．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（）A．y=x3+6x2+9xB．y=x3﹣6x2﹣9xC．y=x3﹣6x2+9xD．y=x3+6x2﹣9x8．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]9．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2B．﹣3＜a＜6C．a＜﹣3或a＞6D．a＜﹣1或a＞210．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或7二、填空题11．设f（x）=1﹣2x3，则f′（1）=_________．12．函数y=x3﹣2x2+x+a（a为常数）的单调递减区间_________．13．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=_________．14．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1时有极值0，则m+n=_________．15．下列图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）=_________．三、解答题16．在曲线y=x2过哪一点的切线，（1）平行于直线y=4x﹣5（2）垂直于直线2x﹣6y+5=0．17．设f（x）=x3﹣3x2+5（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x∈[1，3]，求f（x）的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，求函数y=f（x）解析式．19．设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．20．函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为﹣12．（1）求a、b的值；（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．21．设函数，其中常数a＞1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．《第1章导数及其应用》2010年单元测试卷（巴蜀中学）（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2004•黑龙江）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4B．y=﹣3x+2C．y=﹣4x+3D．y=4x﹣5考点：导数的几何意义．4140797分析：首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．解答：解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．点评：考查导数的几何意义，该题比较容易．2．（3分）（2001•江西）函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值1B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣2，极大值2D．极小值﹣1，极大值3考点：利用导数研究函数的极值．4140797专题：计算题；压轴题．分析：求出导函数，令导函数为0求根，判根左右两边的符号，据极值定义求出极值．解答：解：y′=3﹣3x2=3（1+x）（1﹣x）．令y′=0得x1=﹣1，x2=1．当x＜﹣1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数；当﹣1＜x＜1时，y′＞0，函数y=1+3x﹣x3是增函数；当x＞1时，y′＜0，函数y=1+3x﹣x3是减函数．∴当x=﹣1时，函数y=1+3x﹣x3有极小值﹣1；当x=1时，函数y=1+3x﹣x3有极大值3．故选项为D点评：判断导函数为0的根左右两边的符号：符号左边为正右边为负的根为极大值；符号左边为负右边为正的根为极小值．3．（3分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15B．5，﹣4C．﹣4，﹣15D．5，﹣16考点：利用导数求闭区间上函数的最值．4140797专题：计算题．分析：对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可解答：解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A点评：本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．4．（3分）（2010•抚州模拟）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．4140797专题：作图题．分析：先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．解答：解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．故选A．点评：本题主要考查函数的极值点与导函数的正负变化之间的关系，即导函数由正变为负时原函数有极大值，当导函数由负变为正时原函数有极小值．5．（3分）设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（）A．f（x）的极值点一定是最值点B．f（x）的最值点一定是极值点C．f（x）在此区间上可能没有极值点D．f（x）在此区间上可能没有最值点考点：函数在某点取得极值的条件．4140797专题：探究型．分析：导数为0时，若方程无解，或方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点；若方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点；从而可以判断．解答：解：设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则导数为0时，若方程无解，或方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点；若方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点；故选C．点评：本题考查的重点是函数的极值与最值，解题的关键是利用极值的判断方法，容易误认为导数为0的点是函数的极值点．6．（3分）（2004•湖南）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．4140797专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．7．（3分）某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（）A．y=x3+6x2+9xB．y=x3﹣6x2﹣9xC．y=x3﹣6x2+9xD．y=x3+6x2﹣9x考点：函数在某点取得极值的条件．4140797专题：计算题．分析：设三次函数为y=ax3+bx2+cx+d，因为过原点，所以常数项为d=0，y'=3ax2+2bx+c，根据该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，可得，从而可求a=1，b=﹣6，c=9，故可得三次函数．解答：解：设三次函数为y=ax3+bx2+cx+d因为过原点，所以常数项为d=0∴y=ax3+bx2+cx∴y'=3ax2+2bx+c由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，所以3ax2+2bx+c=0有两个实根1和3∴∴a=1，b=﹣6，c=9所以三次函数为y=x3﹣6x2+9x故选C．点评：本题以函数的性质为载体，考查函数解析式的求解，解题的关键是正确运用导数，合理建立方程组．8．（3分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]考点：导数的几何意义．4140797专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y'=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．9．（3分）（2011•资中县模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2B．﹣3＜a＜6C．a＜﹣3或a＞6D．a＜﹣1或a＞2考点：利用导数研究函数的极值．4140797专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．解答：解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．10．（3分）（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或7考点：导数的几何意义．4140797专题：压轴题．分析：已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次