《微积分》(下)复习大纲

1《微积分》（下）复习大纲第六章定积分教学目的和要求：1、了解定积分的概念及存在定理，理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点：1、牛顿-莱布尼兹公式2、定积分的换元法和分部积分法难点：1、定积分的概念2、积分上限函数的概念与应用3、定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节定积分的概念和性质教学目的和要求：1、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的能力。2、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。3、理解定积分的基本性质和中值定理重点：定积分的概念教学过程：一、问题的提出1、几何上，曲边梯形的面积2、物理上，变速直线运动的路程2二、定积分的定义1、定积分的定义2、定积分存在的条件3、定积分的几何意义三、定积分的性质1、线性性质（1）2、线性性质（2）3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式7、定积分的中值定理第二节微积分基本定理教学目的和要求：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），会用这个公式求一些函数的定积分重点：1、积分上限函数的定义及其性质2、牛顿--莱布尼茨公式教学过程：一、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质3、原函数存在定理二、牛顿--莱布尼茨公式第三节定积分的积分法教学目的和要求：1、使学生掌握定积分的换元积分法、分部积分法。3重点：定积分的换元积分法、分部积分法。一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第四节定积分的应用教学目的和要求：1.理解定积分的应用于求面积、体积。重点：在直角坐标系中列出所求问题的积分式一、平面图形的面积二、体积1.平行截面面积为已知的立体的体积2.旋转体的体积一般情况，闭区间[a,b]上连续曲线)(xf构成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的立体，闭区间[c,d]上连续曲线()xgy构成的曲边梯形绕Y轴旋转一周而成的立体，叫旋转体。第五节广义积分教学目的和要求：1、使学生理解广义积分实际上是普通定积分的极限，并会求解广义积分2、培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力重点：1、广义积分的识别与计算一、广义积分的计算1、无穷限的广义积分广义积分11dxxp当1p时收敛，1p时发散2、无界函数的广义积分广义积分10q1dxx当1q时收敛，当1q时发散第七章无穷级数4第一节常数项级数的概念与性质教学目标：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.重点难点：级数概念及其敛散性教学活动：一、级数的概念1、级数的定义2、级数的收敛与发散nnslim存在(不存在)二、基本性质1、级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.2、收敛级数可以逐项相加与逐项相减.3、级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.4、收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.5、收敛的必要条件第二节正项级数的敛散性判别教学目标：1、掌握正项级数的比较判别法、比值判别法，会用根值判别法.2、掌握p级数的收敛与发散条件.重点难点：常数项级数的敛散性判别法一正项级数及其审敛法1、正项级数的定义2、正项级数收敛的充要条件:3、比较判别法（极限判别法）4、比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)5、根值判别法(柯西判别法)第三节任意级数的敛散性判别5教学目标：1、掌握交错级数的莱布尼兹判别法。2、掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质.重点难点：莱布尼兹判别法、绝对收敛与条件收敛的判别。一、交错级数及其审敛法1、定义：2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.二、绝对收敛与条件收敛1nnnnuuuu、判别的敛散性，收敛，则收敛，而可用正项级数判别法。2lim0,nnnnuuu、若的发散，其发散性的判别若用的是比值法或根值法，则故发散。nu若发散性的判别用的是比较法，但为交错级数，可用莱布尼兹准则。2213limlimnnnnnuSS、若不是交错级数或是交错级数但不符合莱布尼兹准则的条件，可否有第四节幂级数教学目标：1、了解幂级数收敛域的结构及幂级数的和函数的概念.2、掌握一些幂级数的收敛半径和收敛区间的求法，会求一些简单幂级数的和函数.重点：幂级数的收敛半径和收敛区间及幂级数的和函数一、幂级数及其收敛性1、定义，2、收敛性定理：收敛半径、收敛区间；二、幂级数的和函数1、幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点6单侧连续.2、幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.3、幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.第五节函数的幂级数展开教学目标：1、了解函数展开为幂级数的充分必要条件，掌握)1ln(,cos,sin,xxxex，)1(x的麦克劳林展开式，并利用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.重点：函数展开为幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数1、直接法2、间接法1（）利用已知函数的展开式作间接展开时，必须注意已知展开式的收敛区间问题。02()()()()()()nnnfxaxRxRxRxRfxxRRxRxR（）如果在该区间的端点仍收敛而在有定义且连续，那么根据幂级数的和函数的连续性，该展开式对也成立。第八章多元函数微积分学第一节多元函数的基本概念教学目标：理解多元函数的概念，了解二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.重点：多元函数的极限、多元函数的连续性一、多元函数的概念71、平面点集（邻域、聚点、区域），n维空间2、二元函数的概念（定义、图形）二、多元函数的极限三多元函数的连续性第三节偏导数教学目标：1、理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和高阶偏导数的求法.2、了解偏导数存在与连续的关系以及的几何意义，了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件.重点：偏导数的计算一、偏导数的定义及其计算法1、定义注意:00(,)xfxy00000(,)(,)limxfxxyfxyx00d(,)dxxfxyx2、有关偏导数的几点说明：（1）偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;（2）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；（3）偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导则该点连续，而多元函数中在某点偏导数存在，则未必在该点连续，二、高阶偏导数第四节全微分教学目标：1、理解多元函数全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用.重点：全微分的概念一、全微分的定义1、全增量的概念82、全微分的定义二、可微的条件三、全微分的计算第五节多元复合函数的求导法则教学目标：掌握各种情况下的多元复合函数偏导数的求法.重难点：复合函数偏导数一、复合函数的求导法则二、全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：无论),(vufz是自变量vu,的函数或中间变量vu,的函数，它的全微分形式是一样的.三、隐函数的求导法则第六节多元函数极值及其求法教学目标：1、理解多元函数极值和条件级值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解多元函数极值存在的充分条件.2、掌握求二元函数的极值以及运用拉格朗日乘数法求条件极值的方法.3、会求二元函数的最大值和最小值，并解决一些实际问题.重难点：二元函数极值及其求法一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义2、多元函数取得极值的条件（1）定理1（必要条件）注：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.（2）定理2（充分条件）3、多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.9二、条件极值拉格朗日乘数法1、条件极值：对自变量有附加条件的极值．2、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况第七节二重积分教学目的和要求：1、通过对曲顶柱体体积以及平面薄片质量的计算实例引入二重积分的概念，从中领会“有限到无限”、“特殊到一般”的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学知识解决实际问题的能力。2、使学生掌握二重积分的定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。重点：二重积分的概念一、二重积分的定义1、曲顶柱体体积的计算2、二重积分的定义3、二重积分存在的充分条件4、二重积分的几何意义二、二重积分的性质1、线性性质2、积分区域的可加性3、用二重积分求平面区域面积的公式4、二重积分的比较性质5、二重积分的估值性质6、二重积分的中值定理二重积分的计算方法教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）重点：直角坐标和极坐标下二重积分的计算。难点：坐标系的选取。直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。一．利用直角坐标计算二重积分：101．X型和Y型积分域的特点。注：一般区域总可以分割成X型区域和Y型区域。2．积分限的确定方法：1）先画出积分区域。2）定积分限的原则：先积后定限，外层常数见，域内画条线，先交写下限，后交写上限。1．二重积分的计算方法公式——累次积分法。2．二重积分计算时注意的问题：1）确定坐标系选择、选择积分次序、确定积分限是关键。2）注意何时、何类型的题目要交换积分次序。3）如何利用奇偶性、对称性简化计算。4）被积函数绝对值的处理：分块积分；利用对称性。5）何时必须用分块积分。二．利用极坐标计算二重积分1．公式注：d换成rdrd。2．积分限的确定：注：1）极点在D之外。2）极点在D之内。3）极点在D的边界上。3．极坐标计算适合的类型：1）积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）。2）被积函数含有22xy的因子或为22fxy的形式。第九章微分方程初步教学目标：1、掌握微分方程概念（阶、解、通解、初始条件、特解）以及积分曲线的概念.2、掌握可分离变量微分方程的解法.3、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法.重点：微分方程的概念及解法难点：微分方程的应用教学活动：一、微分方程的概念定义，分类，微分方程的解（1）特解（初始条件）（2）通解11二、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程