《概率论》复习题

《概率论》复习一、填空题：1.设事件A与B相互独立，,8.0)(,5.0)(BPAP.________)(_______,)(BAPBAP则)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BPAPBPAP9.0)()(BAPBAP)()(BPAP)](1)[(BPAP1.02.从1，2，3，4，5中同时任取3个数，求其中至少含有1个偶数的概率________35CP13222312CCCC9.03..________)1(______,)(),2.0,100(~..XPkXPbXvr则100,,2,1,08.02.0)(100100kCkXPkkk)1(1)1(XPXP)0(1XP0100001008.02.01C1008.01._________}3421{)1,0(.4XPX则上的均匀分布，服从设随机变量X的概率密度函数为其它0101)(xxf3421)(}3421{dxxfXP1211dx5.05.一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_______________.818032p设该射手的命中率为p，则该射手的命中次数X~b(4,p)四次射击中至少命中一次的概率为)1(XP)1(1XP)0(1XP04004)1(1ppC4)1(1p81806.已知随机变量X只能取–1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次为1/2c,3/4c,5/8c,2/16c,则c=_______________.1162854321cccc116216101612168cccc11632c.2c7.已知离散型随机变量X的分布函数为xxxxxxF31318.0104.0021.020)(._______)21(_______;)21(XDXE则2.04.03.01.03102pX2.04.03.01.03102pX)(21)21(XEXE则6.0)2()21(XDXD)(4XD]2.034.013.001.0)2[(212.034.013.001.0)2()(22222XE6.2})]([)({422XEXE])8.0(6.2[4284.78.设随机变量X，Y相互独立，其概率分布分别为：,1,0!)(;0002)(12kkekYPxxexfxX.______)2(______;)2(YXDYXE则的指数分布，服从参数为21X,21)(XE,1)(YE)(2)()2(YEXEYXE则;23)(2)()2(2YDXDYXD.417,41)(XD,1)(YD),1(~Y9.设随机变量X，Y相互独立，),4,1(~),9,4(~NYNX.___________)(_______;)(______;)(,32zfZDZEYXZZ则又,4)(XE,1)(YE,9)(XD,4)(YD)(3)(2)(YEXEZE,5)(3)(2)(22YDXDZD,72)72,5(~NZzezfzZ144)5(2121)(10.设随机变量X，Y相互独立，其分布函数分别为：.______)(),,min(),(),(zFYXZyFxFZYX则)].(1)][(1[1)(zFzFzFYXZ准正态分布。近似服从标知：则根据中心极限定理可的泊松分布，独立同服从参数为设_______1,,.111001XX101011001kkX.________~)(),,0(~.1222XNX则若),,0(~2NX),1,0(~0NXX).1(~)(22X,)(.13XEX的数学期望设随机变量则由契比雪夫不等式方差,)(2XD._____________}3|{|XP}3|{|XP2292)3()(XD.91二、某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%。现知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”客户的概率是多少？设A、B、C分别表示该保险人属于“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”，D表示该保险人在一年内出了事故。则,2.0)(AP,05.0)|(ADP,5.0)(BP3.0)(CP,15.0)|(BDP30.0)|(CDP)|(DAP)|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP30.03.015.05.005.02.0175.0所以所求的概率为)()|()(DPADPAP175.005.02.0057.0三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。设A表示“从甲袋中取出一个白球”，B表示“从乙袋中取出一个白球”，.个黑球”表示“从甲袋中取出一则A所以所求概率为)|()()|()()(ABPAPABPAPBP42324131.125四、设随机变量X和Y同分布，X的概率密度(1)已知事件和独立，且，求常数；其它02083)(2xxxf}{XA}{YB43)(BAP的数学期望。求21)2(X,)()()1(BPAP)()()()(ABPBPAPBAP43)]([)(22APAP.21)(AP)()()(BPAPABP43}{)(21XPAPdxxf)(8183322dxx34dxxfxXE)(1)1()2(22dxxx202218343五、设随机变量X的概率密度函数为.求随机变量的概率密度函数。)1(1)(2xxfX31XY)(yfY}1{}{)(3yXPyYPyFYY的分布函数为3)1(2)1(yxdx})1({3yXP])1arctan(2[13y3)1(arctan1yx)()(yFdydyfYY所以Y的概率密度函数为)(yFY])1arctan(2[13y62)1(1)1()1(31yy.])1(1[)1(362yy六、设随机变量X的概率密度为xxfX),(求随机变量的概率密度。2XY).(),(,yFxFYXYX的分布函数分别为设随机变量).(yFY下面先来求,02XY由于.0)(0yFyY时，故当时，有当0y}{)(yYPyFY}{2yXP}{yXyP)()(yFyFXX的概率密度为得求导数，关于将YyyFY)(000)]()([21)(yyyfyfyyfXXY000)]()([21)(yyyfyfyyfXXY例如，，设)1,0(~NX2XY得的概率密度为00021)(221yyeyyfyY分布。的服从自由度为此时称21Y七、设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。(X,Y)的所有可能的取值为：X等可能地取1,2,3,4中的一个，Y等可能地取1到X之间的整数值。},{jYiXP且}|{}{iXjYPiXP41i1.,4,3,2,1,41ijii对应的概率分布表可参见教材第77页。八、设的联合概率密度为，试求（1）常数A；（2）的边缘概率密度；（3）；（4）条件概率密度；（5）；（6）判别X与Y是否相互独立（需说明理由）),(YX其它00,0),()32(yxAeyxfyxX)(xfX)2(YXP)|(|xyfXY)2|1(XYPdxdyyxf),(1)1(0032dyedxeAyx6A6AdyyxfxfX),()()2(06000)32(xdyexyx06600032xdyeexyx02002xexx2),()2()3(yxdxdyyxfYXP2020)32(6xyxdyedx2062)(2dxeexx64231eexyx+y=2D(4)当x0时，)(),()|(|xfyxfxyfXXY03003yeyy)2()1,2()2|1()5(XPYXPXYP2022010)32(26dxedyedxxyx31edxyxfyfY),()()6(03003yeyy06000)32(ydxeyyx因为)()(),(yfxfyxfYX所以X与Y相互独立九、设随机变量的联合概率分布律为),(YXbaYX2.013.0010)].2[sin()4();,cov()3()2();0(3)0(2,)1(VEYXYXVXPYPba的分布律；的值，使得求求5.0)1(ba)2.0(3)3.0(2aa5.00ba的分布律为YXV)2(5.05.00210pV21,)()3(jiijipxXE8.021,)(jiijjpyYE7.021,)(jiijjipyxXYE5.0)()()(),cov(YEXEXYEYX7.08.05.006.000sin)]2[sin()4(VE5.05.02sin5.0sin十、(1)一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率；(2)一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为0.90。且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95。损坏个部件在整个运行期间第，工作个部件在整个运行期间第，设iiXi01)1()100,,2,1(i由题设知，相互独立，10021,,,XXX,90.0}1{iXP且,10.0}0{iXP,1001iiXX记)9.0,100(~bX显然由棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理得：1.09.01009.0100X近似服从)1,0(N}85{1}85{XPXP1.09.01009.0100851.09.01009.01001XP351.09.01009.01001XP)35(1)35(9525.0即整个系统起作用的概率为0.9525(2)设损坏部件个数为X，则),1.0,(~nbX记N为0.2n取整，由棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理得：9.01.01.09.01.01.0}{nnNnnXPNXPnnNnnXP3.01.09.01.01.0)3.01.0(nnN95.065.13.01.0nnN.25nn至少为25才能使系统的可靠性不低于0.95。《概率论A》考试安排考试时间：2004年5月27日14:15~16:15考试地点：EJ–304,EJ