《概率论与数理统计》第二章

第二章、随机变量及其概率分布本章基本内容与要求：1.理解随机变量的概念，掌握分布函数的概念及性质，会用分布函数求概率。2.理解离散变量及其分布律的概念及性质，会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数。3.掌握3个常用的离散型概率分布：0—1分布，二项分布和泊松分布，会查泊松分布表，会计算这些分布的相关概率。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度的性质，清楚概率密度与分布函数之间的关系，会用概率密度求分布函数，也会用分布函数求概率密度，会计算随机变量落入某一区间的概率。5.掌握均匀分布和指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表，能熟练运用正态分布的概率计算公式计算概率：（P47例2-22）6.会求离散型随机变量简单函数的分布律。对于连续型随机变量的函数，要求会用“公式法”求“单调型”随机变量函数的概率密度；至于“非单调型”随机变量函数的概率密度的“直接变换法”，只要求一般了解即可。一、离散型随机变量（一）随机变量的概念定义2-1：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个结果（样本点），有一个实数)(X与之对应，这样就得到一个定义在上的实数值函数)(XX，称为随机变量，随机变量通常用,,,ZYX或,,21XX来表示。例如：（1）在投掷一枚硬币的试验中，0X表示“出现反面”；1X表示“出现正面”。则210XP，211XP。（2）在掷骰子的试验中，iX表示“出现i点”（6,5,4,3,2,1i），则61)1(XP，61)2(XP，61)(iXP（6,5,4,3,2,1i）；4X表示“出现的点数大于或等于4点”，即6,5,44X，2163)6()5()4(4XPXPXPXP。（3）在测试灯泡寿命的试验中，1000Y表示“灯泡寿命不超过1000小时”；15001000Y表示“灯泡寿命在1000小时到1500小时之间”。注：（1）用随机变量描述事件，可以使我们摆脱只是孤立地研究一个或几个事件，而且通过随机事件把各个事件联系起来，进而研究随机事件的全貌；（2）随机变量是研究随机试验的有效工具。（二）离散型分布变量及其分布律1.离散型随机变量的定义：若随机变量X只取有限个或可列个值，则称X为离散型随机变量。2.离散型随机变量的概率分布：设X为离散型随机变量，可能取值为,,,21kxxx，且,2,1,)(kpxXPkk则称kp为X的分布律（或分布列，或概率分布）。离散型随机变量的分布律也可用表格的形式来表示：X1x2x3x…kx…P1p2p3p...kp…3.概率分布的性质：（1）；,2,1,0kpk（2）1121kkkpppp4.例题讲解：例1.设离散型随机变量X的分布律为：X012P0.2c0.5求常数c。解：有概率分布的性质可知：0.2+c+0.5=1，c=0.3例2.掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。解：X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6，且6,5,4,3,2,1,61}{kkXPpk则X的分布律为X123456P616161616161例3.袋子里有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，从中同时取出3个球，记X为取出的最大编号，求X的分布律。解：X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法得1011}3{35CXP（3个球的编号为1,2,3）103}4{3523CCXP（有一球编号为4，另外两个从1,2,3中任取两个搭配而成）106}5{3524CCXP（有一个球编号为5，另外两个球的编号小于5）则，X的分布律为：pXP}1{X345P101103106（三）几种常见的离散型概率分布1.两点分布（0-1分布）：定义：若随机变量X只取两个可能值0,1，且qXPpXP}0{,}1{其中pqp1,10，则称X服从0-1分布。X的分布律为X01Pqp2.二项分布：定义：若随机变量X的可能取值为0,1,2，…，n，而X的分布律为nkqpCkXPpknkknk,...,3,2,1,}{，即X服从参数为n,p的二项分布，记为),(~pnBX。当n很大,p很小时，二项分布的近似公式就是著名的二项泊松逼近。即)()1(!)1(limnpppkppCknkkknkknn即当n很大，p很小时)()1(!)1(npppkppCknkkknkkn3.泊松分布：定义：设随机变量X的可能取值为0,1,2，…，n,…,而X的分布律为,......2,1,0,!}{kekkXPpkx其中0，则称X服从参数为的泊松分布，记为)(~PX。4.例题讲解例6.某种特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？解：设X为10人中治愈的人数，则)95.0,10(~BX,而所求概率为9885.0)05.0()95.0()05.0()95.0()05.0()95.0(}10{}9{}8{}8{01010101991028810CCCXPXPXPXP例7.设),3(~),,2(~pBYpBX，设95}1{XP，试求}1{YP。分析：由于}0{1}1{YPYP，所以，欲求}1{YP，需先求p。利用95}1{XP求出p即可。解：95}0{1}1{XPXP，94}0{XP，所以94)1(}0{2002ppCXP，有此得：31p再由)31,3(~BY可得：27193111)1(1}0{1}1{33003PPCYPYP。例9.设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求：}10{)2(};10{)1(XPXP。解：（1）5时，查表得：018133.0!!}11{}10{}10{1110kkkkkkXPXPXP（2）986305.0!1}11{1}10{11kkkXPXP。例10.设X服从泊松分布，且已知}2{}1{XPXP，求}4{XP。解：由于X服从泊松分布，所以eXPeXP!2}2{,!1}1{21于是，ee!2!121，解之得2，故22432!42}4{eeXP。二、随机变量的分布函数（一）分布函数的概念1.定义：设X为随机变量，称函数),(},{)(xxXPxF为X的分布函数。2.当X为离散型随机变量时，设X的分布律为{}由于}{}{kxxxXxXk，由概率性质知，xxkxxkkkpxXPxXPxF}{}{)(，即xxkkpxF)(其中，求和是对所有满足xxk时kx相应的概率kp求和。3.例题讲解例11.设离散型随机变量X的分布律为X-1012P0.20.10.30.4求X的分布函数。解：当1x时，0}{)(xXPxF当01x时，2.0}1{}{)(XPxXPxF当10x时，3.01.02.0}0{}1{}{)(XPXPxXPxF当21x时，6.03.01.02.0}1{}0{}1{}{)(XPXPXPxXPxF当2x时，14.03.01.02.0}2{}1{}0{}1{}{)(XPXPXPXPxXPxF则X的分布函数)(xF为2,121,6.010,3.001,2.01,0)(xxxxxxF（二）分布函数的性质1.1)(0xF；2.)(xF是不减函数，即对于任意的21xx有)()(21xFxF；3.1)(,0)(FF；4.)(xF右连续，即)()(lim)0(0xFxxFxFx。5.推论：（1）)(}{bFbXP；（2）)()(}{aFbFbXaP，其中ba。（3）)(1}{bFbXP例12.设随机变量X的分布函数为0,00,)(xxbeaxFx其中0为常数，求a与b的值。解：abeaxFFxxx)(lim)(lim)(又因为1)(F，所以1a，又由于)(xF的右连续性，得到0)0()(lim)(lim)00(00FbabeaxFFxxx由此得1b。例13.设随机变量X的分布函数为2,121,210,30,0)(xxxxxxxF，求2321)1(XP；21)2(XP；23)3(XP。解：127614321232321)1(FFXP6561121121)2(FXP4143123123)3(FXP三、连续型随机变量及其概率密度（一）连续型随机变量及其概率密度1.定义：若随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x),使得对任意实数x有xdttfxF)()(则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。结论：连续型随机变量在某一指定点取值的概率为0。2.概率密度f(x)的性质：（1）0)(xf；（2）1)(dxxf（3）badxxfaFbFbxaPba,)()()(}{（4）设x为f(x)的连续点，则)(xF存在，且)()(xfxF3.例题讲解：例14.设随机变量X的概率密度为1||,01||,)(xxcxf其中，c为待定常数，求：（1）常数c的值；（2）X落入区间（-3，21）内的概率。解：（1）由概率密度的性质1)(dxxf得21,1200)(1111ccdxdxcdxdxxf（2）由于f(x)是分段函数，所以{}∫∫∫∫∫例15.设随机变量X的概率密度为其他，,021210,)(xxxxxf求X的分布函数)(xF。解：当0x时，∫∫；当时，∫∫∫|；当时，∫∫∫∫|()()当时，∫∫∫∫即X的分布函数为{注：当)(xf为分段函数时，)(xF也是分段函数。二者有相同的分段点。例16.设连续型随机变量X的分布函数为1,110,0,0)(2xxxxxF求（1）X的概率密度)(xf；（2）X落在区间(0.3,0.7)的概率。解：（1）其他,010,2)()(xxxFxf（2）有两种解法：4.03.07.0)3.0()7.0(}7.03.0{22FFXP或者4.02)(}7.03.0{7.03.027.03.07.03.0xdxxdxxfXP例17.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度其他，,010001000)(2xxxf现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问：（1）任取一个，其寿命大于1500小时的概率是多少？（2）任取4个，4个中恰有2个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？（3）任取4个，4个元件中至少有一个元件的寿命大于1500小时的概率是多少？解：（1）3210001000}1500{150015002xdxxXP（2）各元件工作相互独立，可看作是4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数，则)32,4(~BY,所求概率为2783132}2{2224CYP（3）所求概率为818031321}0{1}1{4004CYPYP（二）几种常见的连续型随