p316-349_讲稿

-1-第六章空间群与晶体能带)(kE复习：§6.3平移群的不可约表示不可约表示的求出平移群T1是一个N1阶的阿贝尔群。（1）群元}|{1aE的不可约表示由}0|{}|{11EaEN，有1})]|({[111NkaED得到111111121})|({abNPiNPikeeaED11akie其中1111bNPk称为波矢量，是平移群不可约表示的记号；给出群元}|{1aE的N1个不可约表示。（2）群元}|{11alE的不可约表示1}|{}|{111laEalE111})]|({[})|({111lkkaEDalED111alkie（3）群元}|{lRE的不可约表示}|{}|{332211alalalEREl321}|{}|{}|{321lllaEaEaE-2-则不可约表示矩阵332211})]|({[})]|({[})]|({[})|({321lklklklkaEDaEDaEDRED333222111alkialkialkieee)()(332211321alalalkkkielRkie其中333222111321bNPbNPbNPkkkk是波矢量，给出群元}|{lRE的N=N1N2N3个不可约表示。布里渊区倒格矢332211bhbhbhGh对于hGkk'，由于llRGkiRkilkeeRED)(''h})|({})|({lkRkiREDel所以，})|({'lkRED与})|({lkRED等价。只需由布里渊区内的波矢，就可得到平移群的全部不可约表示。平移群不可约表示矩阵元的正交性（1）群元}|{11alE的不可约表示矩阵元-3-1111})|({11alkikealED10'10*11'11111111111111})|({})|({NlalkialkiNlkkeealEDalED10)'(111111Nlalkkie当1'1kk时，110*11'111111})|({})|({NalEDalEDNlkk当1'1kk时，10)'(10)'(1111111111111111NlalbNPbNPiNlalkkiee10'2111111NllNPPie这是一个等比级数的N1项和，有0111)(1111111111111111111'2)'(2'2'210'2NPPiPPiNPPiNNPPiNllNPPieeeee即0})|({})|({10*11'111111NlkkalEDalED（2）群元}|{lRE的不可约表示矩阵元lRkilkeRED})|({同理可证-4-hh}|{*''0'})|({})|({GkkGkkNREDREDlRElklk平移群不可约表示基函数的性质（1）平移群不可约表示的基函数平移群群元}|{lRE的不可约表示矩阵元lRkilkeRED})|({k不可约表示的基函数，记作)(rk。)()(})|({)(}|{rerREDrPkRkiklkkREll又)()}|({)(1}|{lklkkRERrrRErPl得到平移群不可约表示基函数的性质)()(reRrkRkilkl或)()(reRrkRkilkl称为Bloch函数。记rkikkerur)()(可证)()(ruRruklk即Bloch函数是周期调幅的平面波。-5-（2）周期场中电子的能量本征函数)(')()('ˆrkErHkk由于}|{}|{ˆˆllREREPHHP，所以，平移群T是薛定谔方程的（子）群。复习：p242定理一H的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群T的一个表示的基函数。本征函数)('rk构成（就是）平移群不可约表示的基函数，即)()('rrkk即周期场中电子的能量本征函数是Bloch函数。§6.4简单空间群的不可约表示晶体中电子的能量本征方程)()()(ˆrkErHkk目的：通过哈密顿算符Hˆ群的不可约表示，分析能量本征值)(kE即能带的特征。-6-§6.4.1波矢群与波矢星对于空间群G的点群G0，0,GSR，有hGkkR或hGkkS波矢群：所有满足hGkkR的群元的集合。记作},,,{)(0REkG，是G0的子群。波矢星：由hGkkS得到的不等价波矢的集合},,,{2mkkk，称为波矢星（或称k星）。例如：正方形晶格的波矢xk正方形晶格的点群vCG40，-7-波矢群},{)(0yEkG，2)(0kg波矢星的4)(km点群G0按波矢群作陪集分解)(}0|{)(}0|{)(}0|{00200kGSkGSkGEGm或记作)(}0|{)(}0|{)(}0|{00200kGRkGRkGEGm（6.4-3）波矢群的阶)(0kg与波矢星中波矢的数目)(km，满足00)()(gkmkg例题：二维正方格子空间群14vC的波矢群与波矢星。解：正方格子空间群14vC的点群是vCG40（1）一般点：}{)(0EkG，1)(0kg8)(km（2）△轴：},{)(0yEkG，2)(0kg4)(km（3）BZ边界：},{)(0zEkG，2)(0kg4)(km（4）M点：00)(GkG，8)(0kg1)(km一般点、对称点、对称轴、对称面。-8-E(k)k)()(kREkE,0GR又例（a）简立方晶格的BZ（p353）（b）体心立方晶体体心立方晶格的倒格子是面心立方BZ是菱形十二面体BZ中的对称点、对称轴、对称面。-9-（c）面心立方晶体BZ是截角八面体BZ中的对称点、对称轴、对称面。-10-作业30：习题1（p.417）作业31：习题4（p.417）§6.4.2有关简单空间群不可约表示的定理定理一若)(}0|{)(}0|{)(}0|{00200kGRkGRkGEGm，pD是波矢群)(0kG的第p个pl维的不可约表示，则空间群G的一个)(kmlp维的不可约幺正表示为-11-otherskGRRRRkiRRRRDRRDijnjstijpisjtnkp0)()exp(})0|({})|({01,1,其中GRRn}|{，jR是陪集代表元的点操作，)(,,2,1,kmij，plst,,2,1,。简单空间群G的全部不可约表示，都可以从波矢群)(0kG的全部不等价不可约表示求出。证明：（略）例题：求空间群5hO及14vC的不可约表示。（1）5hO的不可约表示kpD①对于Г点：otherskGRRRRkiRRRRDRRDijnjstijpisjtnp0)()exp(})0|({})|({01,1,00)(GkG，1)(km，有otherskGRRRRkiEEREDRRDijnstpstnp0)()exp(})0|({})|({01,,)exp(})0|({,nstpRkiRDstpRD,)(在Г点，空间群5hO的不可约表示，与点群-12-Oh的不可约表示相同，有10个。②一般点：}{)(0EkG，1)(0kg，48)(0gkm，有otherskGRRRRkiRRRRDRRDijnjstijpisjtnkp0)()exp(})0|({})|({01,1,othersERRRRkiRRRDijnjijnk0)exp(})|({1,1其中h0OGRj；48维。③L点：)1,1,1(akLL点的波矢群3dL0)(DkG；4)(km；3d2z3d2y3d2x3dDcDcDcEDOh空间群5hO的)(kmlp维的不可约表示otherskGRRRRkiRRRRDRRDLijnLjstijpisjtnpkL0)()exp(})0|({})|({01,1,中，2z2y2x,,,cccERj；pplkml4)(。波矢星（4)(km）：)1,1,1(akL)1,1,1(2xakcL)1,1,1(2yakcL)1,1,1(2zakcL-13-波矢群3dL0)(DkG有6个不可约表示，维数：pl=1、1、1、1、2、2空间群5hO对应的6个不可约表示pkDL维数4)(pLplkml=4、4、4、4、8、8对称性越低的波矢点，空间群不可约表示的维数越大。例如，一般点48)(km；48维。下面具体讨论L点的几种情况：④1pl的4个不可约表示的空间群表示pkDLotherskGRRRRkiRRRRDRRDLijnLjstijpisjtnpkL0)()exp(})0|({})|({01,1,对于1pl，简化为otherskGRRRRkiRRRRDRRDLijnLjijpijnpkL0)()exp(})0|({})|({011,其中2z2y2x,,,cccERj；4)(kmlp维。⑤恒等表示对应的空间群表示1LkDothersDkGRRRRkiRRRDdLijnLjijnkL0)()exp(})|({301,1其中2z2y2x,,,cccERj；4)(kmlp维。⑥1pl时，群元}|{nRE的表示矩阵})|({npkREDL-14-otherskGERRRkiRERRDREDLijnLjijpijnpkL0)()exp(})0|({})|({011,由于2z2y2x,,,cccERj，非零矩阵元满足dLijDkGERR301)(只有ji的4个非零矩阵元)exp(})0|({})|({1,nLiiipiinpkRkiRERRDREDL)exp(})0|({nLipRkiRED)exp(nLiRkiR即)exp(})|({1,1nLnpkRkiREDL)exp(})|({22,2nLxnpkRkicREDL)exp(})|({23,3nLynpkRkicREDL)exp(})|({24,4nLznpkRkicREDL空间群的不可约表示矩阵})|({npkREDL是一个4维的对角矩阵。⑦1pl时，群元}|{4nzRc的表示矩阵otherskGRcRRkiRRcRDRcDLizjnLjizjpijnzpkL0)()exp(})0|({})|({04141,4其中2z2y2x,,,cccERj，非零矩阵元满足dLizjDkGRcR3041)(只有4个非零矩阵元zyzcRcR24411（D3d群中的2度轴）zyzcRcR23412zyzcRcR21413-15-zyzcRcR22414即)exp(})0|({})|({24,14nLzypnzpkRkicDRcDL)exp(})0|({})|({223,24nLxzypnzpkRkiccDRcDL)exp(})0|({})|({221,34nLyzypnzpkRkiccDRcDL