Poisson

Poisson-Charlier多项式Poisson-Charlier多项式的形成一个Sheffer序列与(1)(2)给生成函数(3)Sheffer身份是(4)在哪里是一个下降!(罗马1984年,p.1984)。多项式满足递归关系(5)这些多项式分布在哪里是一个阶跃函数与跳(6)在,1,…为。他们给出的公式(7)(8)(9)(10)(11)在哪里是一个二项式系数,是一个下降!,是一个有关拉盖尔多项式,是一个斯特灵第一种的数量,(12)(13)归一化,这样(14)在哪里是δ函数.最初几个多项式(15)(16)(17)(18)参见:高斯超几何函数凯莱超几何函数的定理克劳森的产品标识连续的函数欧拉超几何转换高斯的连分数高斯超几何定理Gauss-Kummer系列超几何函数Kummer领军的公式Kummer领军的二次转型Kummer领军的关系Kummer领军定理奥尔定理普法夫变换凯莱超几何函数的定理如果然后在哪里是一个Pochhammer象征和是一个超几何函数.Pochhammer象征Pochhammer符号(1)(2)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.256;Spanier1987;Koepf1998,p.5)一个不幸的符号用于理论的特殊功能上升!,也被称为阶乘崛起(Grahametal.1994年,48页)或提升阶乘(米德尔斯堡和摩尔2004,p.16)。Pochhammer符号实现的Wolfram语言作为Pochhammer[x,n]。组合的符号(罗马1984年,p.5),(Comtet1974年,p.6),或(Grahametal.1994年,p.48)用于上升!,而或表示下降!(Grahametal.1994年,p.48)。因此需要极其谨慎的解释的符号和.的头几个值为非负整数是(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA054654).在封闭的形式,可以写(8)在哪里是一个斯特灵第一种的数量.Pochhammer象征满足(9)分为两半的公式(10)(11)和复制公式(12)(米德尔斯堡和摩尔2004,p.17)。的比例Pochhammer符号在封闭的形式给出(13)(米德尔斯堡和摩尔2004,p.17)。的导数是(14)在哪里是双函数.特殊值包括(15)(16)Pochhammer符号由于欧拉遵循转换(17)在哪里是向前的区别和(18)(Nørlund1955)。的总和可以做在封闭的形式(19)为.考虑到产品(20)(21)这个函数收敛于0,一个有限值,或发散,这取决于的价值。给出的临界曲线隐式方程(22)在这条曲线上,函数收敛于0,而外面,它发散。最大的融合发生是由真正的价值(OEISA090462),最小值。的极值值是由(OEISA090463)。在关键的轮廓,需要的值(23)策划的适当扩展版本与有限显示美丽的和微妙的结构如上文所述(m.Trottper。通讯,12月1日,2003)。另一个美丽的可视化情节,正如上文所述(m.Trottper。通讯,2003年12月2日)。克劳森的产品标识在哪里是一个超几何函数和是一个广义超几何函数.欧拉超几何转换(1)在哪里是一个超几何函数。可以编写解决方案使用欧拉转换(2)(3)(4)(5)的等价形式(6)(7)(8)方程(7)给欧拉融合改进变换系列的欧拉变换(至少)有三种类型的欧拉变换(或变换)。首先是一组转换超几何函数,被称为欧拉超几何转换.第二种类型的欧拉变换技术系列收敛性的改进一个收敛的交替系列(1)成一系列快速收敛到相同的值(2)在哪里向前的区别被定义为(3)(阿布拉莫维茨和Stegun1972;分为etal.1972年)。欧拉超几何和融合改进转换时相关的事实在第二个的欧拉超几何转换(4)在哪里是一个超几何函数,它给欧拉融合改进系列的转换(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.555)。第三种类型的欧拉变换是一种特定类型的关系整数序列(斯隆和普劳夫1995年,第20-21页。)。如果,,……和,,……是相关的(5)或者,用生成函数和,(6)然后据说的欧拉变换吗(斯隆和普劳夫1995,p.20)。欧拉变换可以通过引入中间系列,,……给出的(7)然后(8)与。类似地,可以影响逆变换计算中间系列(9)然后(10)在哪里是默比乌斯函数.在图论,如果的数量是无标号连接图在节点满足一些房地产的总数吗标记图与相同的属性(连接)。这个应用程序的欧拉变换里德尔的公式标记图(斯隆和普劳夫1995年,20页)。也有重要的数字理论的应用欧拉变换。例如,如果有类型的大小为1的部分,类型的大小为2部分等,在给定类型的分区,然后欧拉变换的分区的数量吗为这些整数部分。例如,如果对所有,然后分区的数量吗为整数部分。类似地,如果为'和为复合,然后分区的数量吗斯隆为主要部分(1995年普劳夫,21页)。其他应用程序是由安德鲁斯(1986),安德鲁斯和巴克斯特(1989),和卡梅隆(1989)。默比乌斯函数默比乌斯函数理论定义的函数(1)所以表明是squarefree(Havil2003,p.2003)。的头几个值因此,1,,0,,1,0,0,1,0…(OEISA008683)。同样,前几的值为,2,…1,1,1,0,1,1,-1,0,0,1,1,0,……(OEISA008966).介绍了函数的莫比乌斯(1832),和符号第一次使用了莫顿(1874)。然而,高斯认为莫比乌斯函数30多年在莫比乌斯之前,写作”的总和原始的根(一个质数)是(当是一个正方形整除),还是(mod)(当不平等的质数的乘积;如果这些甚至符号的数量是正的但如果个数是奇数,符号是负的)”(高斯1801·佩吉2003)。默比乌斯函数的实现Wolfram语言作为MoebiusMu[n]。的summatory函数默比乌斯函数(2)被称为莫顿函数.下表给出了前几的值为0和1。第一个的值整数是绘制在一个以上网格,的值与被显示为红色,所示黑色,蓝色所示。清晰的模式出现在数字的倍数每个共享一个或多个重复的因素。斯隆的值A0300592、3、5、7、11、13、17日,19日,23日,29日,30日,…0A0139294、8、9、12、16、18、20、24、25日,27日28日……1A0302291、6、10、14、15、21、22、26日……莫比乌斯的函数生成函数(3)为(Nagell1951,p.1951)。本产品是通过一个了欧拉产品和扩大获得(4)(5)(6)(7)(8)(德比郡2004,页245-249)。一个额外的生成函数是由(9)为。它还遵循无限的资金(10)(11)(12)(13)(14)(OEISA082020,A088245,A088245;Havil2003,p.208),以及因子求和(15)在哪里的数量是不同的主要因素的(哈代和赖特1979,p.235)。也满足无限的产品(16)为巴克(传达员1943;1944;聚和Szego1976,p。126;1999年罗宾斯)。方程(◇)“深”素数定理(兰多朗道1909年,页567-574;1911;1999年哈代,24页)。默比乌斯函数乘法,(17)和满足(18)在哪里是克罗内克符号,以及(19)在哪里是因数的数量(例如,除数函数订单为零;Nagell1951,p.281)。克罗内克符号克罗内克符号的最简单的解释是离散的δ函数定义为(1)克罗内克符号实现的Wolfram语言作为KroneckerDelta(i,j),以及在广义形式KroneckerDelta[j,我……)返回1敌我识别所有参数都是平等和0。它有围道积分表示(2)在哪里是一个轮廓对应于单位圆和和是整数.在立体,克罗内克符号满足身份(3)(4)(5)(6)在哪里爱因斯坦总结隐式地假定,、2、3,是置换符号.从技术上讲,克罗内克符号是张量定义的关系(7)因为,根据定义,坐标和是独立的,(8)所以(9)和真的是一个混合第二排名张量。它满足(10)(11)(12)(13)(14)参见:δ函数,置换符号,排列张量δ函数δ函数是一个广义函数这可以被定义为一个类的极限三角洲序列。δ函数有时被称为“狄拉克δ函数”或“冲动的象征”(Bracewell1999)。它的实现Wolfram语言作为DiracDelta[x]。在形式上,是一个线性泛函从一个空间(通常作为一个施瓦兹空间或紧凑的空间的光滑函数的支持)的测试函数。的作用在,通常表示或,然后给出的值在0对于任何函数。在工程环境中,δ函数的功能性质往往是压抑。δ函数可以被视为导数的亥维赛阶跃函数,(1)(Bracewell1999,p.1999)。δ函数的基本性质(2)事实上,(3)为.额外的身份包括(4)为,以及(5)(6)更普遍的是,δ函数的函数是由(7)在哪里年代是根的。例如,检查(8)然后,所以和,给(9)δ函数的基本方程,定义了衍生品是(10)让在这个定义中,接下去(11)(12)(13)第二项可以删除,因为在哪里,所以(13)意味着(14)一般来说,相同的程序(15)但由于任何的力量次集成为0,因此,只有常数项的贡献。因此,所有条款乘以的衍生品消失,留下,所以(16)这意味着(17)其他涉及δ函数的导数的身份包括(18)(19)(20)在哪里表示卷积,(21)和(22)不可或缺的身份参与是由(23)δ函数也遵循所谓的筛选性质(24)(Bracewell1999,页74-75)。一个傅里叶级数的扩张给了(25)(26)(27)(28)所以(29)(30)δ函数作为一个傅里叶变换作为(31)同样的,(32)(Bracewell1999,p.1999)。更一般的,傅里叶变换δ函数的(33)δ函数可以被定义为以下限制,(34)(35)(36)(37)(38)(39)(40)在哪里是一个空气的作用,是一个第一类贝塞尔函数,是一个拉盖尔多项式任意正整数的秩序。δ函数也可以定义的极限(41)δ函数也可以定义在两个维度,在二维的笛卡儿坐标(42)(43)(44)和(45)同样,在极坐标,(46)(Bracewell1999,p.1999)。在三维笛卡儿坐标(47)(48)和(49)在圆柱坐标,(50)在球坐标,(51)(Bracewell1999,p.1999)。一系列的扩张圆柱坐标给了(52)(53)可以给一些常微分方程的解的衍生品坎瓦尔(1998)。例如,微分方程(54)经典解决方案(55)和分配的解决方案(56)(m.Trottper。通讯,2006年1月19日)。注意,与经典解决方案不同,分配一个解决方案阶颂歌不需要包含独立的常量。