R软件及其在金融定量分析中的应用-CH06.

R软件及其在金融定量分析中的应用主编：许启发、蒋翠侠制作：侯奇华、王侠英2014年10月编写第6章金融波动模型第一节GARCH类模型第二节SV类模型第三节高频波动模型第一节GARCH类模型ARCH模型ARCH模型表示例6-1一般地，ARCH()模型可以表示为：式中，为解释变量组成的向量，可以由的滞后项或者其他外生变量组成；是期的扰动项，它为独立同分布的白噪声过程，表示偶发因素的作用；，保证条件方差严格为正，且保证ARCH过程平稳。q2122221122,~(0,)tttttttttqtqrNXbtXtrtt0,0(1,,)iiq11qii第一节GARCH类模型ARCH模型ARCH效应检验对ARCH效应进行检验，最为经典的方法当属Engle(1982)提出的拉格朗日乘子检验。对ARCH模型中的均值方程，若随机变量为独立的白噪声过程，且，这时在ARCH模型的方差方程中有，而为一常数。如果随机变量服从ARCH过程，那么中至少有一个不全为零。因此ARCH模型检验的原假设和备选假设为H0：（不存在ARCH效应）H1：不全为零t21~(0,)tttN120q2t12,,,q(1,2,,)iiq120q12,,,q第一节GARCH类模型ARCH模型ARCH效应检验例6-2并取，，利用拉格朗日乘子（LM）来检验的ARCH效应。按照LM检验方法，其检验统计量为利用对数似然函数对所讨论的参数向量求取一阶和二阶偏微分，在样本数充分大时给出LM的算式为式中，为样本数，取残差，是对进行回归所得到的拟合优度，。12[,,,]qα[,]θbα1()()(())LLLMθθIααα()Iαα22~()LMTRqTˆtttrXb2R2ˆt22212ˆˆˆˆ(,,,,)tttq211ˆˆTttT第一节GARCH类模型ARCH模型ARCH模型估计ARCH模型最常用的估计方法就是极大似然估计，其对数似然函数为式中，，，。利用优化方法即可得到参数向量的一致估计量。222111()11()ln(|,)ln(2)ln222TTTtttttttttrTLfrXbθXθ[,]θbα0121(,,,,)kbbbbb12(,,,,)qαθ第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型表示例6-3一般地，GARCH(p,q)模型可以表示为式中，为零均值、单位方差的独立同分布随机扰动序列，可以假定其服从标准正态分布、标准化的t分布或者广义误差分布（GED）等；；；。显然，当，GARCH(p,q)模型就退化为ARCH(q)模型。22211,,ttttttqptitiitiiirXbt0,0pq0,0,1,,iiq0,1,2,,iip0p第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型定阶一个GARCH(p,q)模型，可以通过两步法来确定其滞后阶数。第一步，确定滞后阶数。对于残差序列，由于为的无偏估计，可以使用的偏自相关函数（PACF）来确定ARCH部分的最优滞后阶数。第二步，确定滞后阶数。在给定的前提下，可以使用AIC准则或者BIC准则确定GARCH部分的最优滞后阶数。qt2t2t2t*qp*q第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型估计GARCH模型最常用的估计方法为极大似然估计，定义，则2222221212[1,,,,;,,,]ttttqtttpZ1212[,,,,;,,][,]qpδαβ[,,][,]θbαβbδ12[,,,,]qα12[,,]pβ2tttδZZδ第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型估计在随机变量服从正态分布下，其条件密度函数为对于个观测值下的对数似然函数为参数向量的最大似然估计为方程组的解。tr222()1(|,)exp22ttttttrfrXbXθT1122211()ln(|,)11ln(2)ln222TTtttttTTtttttLfrlTθXθθˆθ()Lθ0θ第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型检验对于一个恰当的GARCH模型设定，其标准化残差序列：应该服从独立同分布，且具有零均值与单位方差。为此，根据Tsay(2005)的建议，可以使用Ljung-Box统计量分别检验和来评估GARCH模型中均值方程与方差方程设定的正确性；通过的Q-Q图，识别分布假设的正确性。tttt2tt第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型预测在GARCH模型预测中，最核心的为条件方差（波动率）预测。对于GARCH(p,q)模型，为得到其向前步预测，可以将方差方程向前递推步，得到式中，。因此，对方程两边同时使用条件期望，可得这样，可以通过递归方式对条件方差进行求解，从而得到波动率的向前步预测结果。ll2222222111()()qpnmtlitliitliitliitliitliitliiiiismin{max(,),1}npql22221E()[()E()]()nmttliittliitliitliiill第一节GARCH类模型GARCH模型GARCH模型预测特别地，对于GARCH(1,1)模型，我们有：当且时，有式中，为的无条件方差；为向前步条件期望预测。122121111111111[1()]E()()E()()E()1llttlttltt11()1l2211()E()1tttll11(1)t2()tll第一节GARCH类模型GARCH模型案例分析第一节GARCH类模型GARCH模型扩展GARCH-M模型在波动性建模中，通常需要在一个模型中考虑收益与风险之间联系，将波动率引入均值方程，建立GARCH-M模型。在GARCH模型的均值方程中，可以增加项（或用标准差、对数标准差代替），得到GARCH-M(,)模型：式中，系数称为风险溢价参数，意味着由于承担风险而获得的报酬。2ttln()tpq222211,,tttttttqptitiitiiirXb第一节GARCH类模型GARCH模型扩展IGARCH模型对于GARCH(p,q)过程，如果系数多项式：有个单位根，并且其余个根在单位圆外，则GARCH过程称为阶单整的。显然，GARCH(p,q)过程为单整的的必要条件是：满足上述条件，就称作单整GARCH(p,q)模型，记为IGARCH(p,q)。1110qpiiiiiizz0dmax,pqdd111qpiiii第一节GARCH类模型GARCH模型扩展IGARCH模型实践中，最常用的为单整GARCH(1,1)模型：式中，。则前向期的条件期望为：。单整GARCH过程表明，当前的扰动对未来条件方差的影响是持续的。22211ttt012ts221ttstE第一节GARCH类模型GARCH模型扩展EGARCH模型为了反映金融市场波动的非对称性，Nelson提出了指数GARCH模型（EGARCH模型），可以表示为式中，，是非随机实数标量序列；满足。2211ln()ln()[E()]tttqptitijtjijttttgg,1,2,,iiq,1,2,,jjp()g1E[()]0ttg第一节GARCH类模型GARCH模型扩展EGARCH模型在实际应用中，一般将式(6.24)简化为特别在EGARCH(1,1)模型中，条件方差方程为2211lnlnqptititiijtjtitiij2211111111lnlntttttt第一节GARCH类模型GARCH模型扩展TGARCH模型TGARCH(p,q)模型的方差过程一般表示为式中，为名义变量据此，可以看出：正的冲击对的贡献为；负的冲击对有更大的贡献为。显然，体现了贡献的差别程度，称市场波动存在杠杆效应。22211()qptiititijtjijaDtiD1000tititiDti2t2itiati2t2()iitia0第一节GARCH类模型GARCH模型扩展APARCH模型APARCH(p,q)模型的条件方差过程为：易见，当时，APARCH模型简化为TGARCH模型；当时，APARCH模型直接使用波动率作为研究对象；当时，取的极限，APARCH模型简化为EGARCH模型。实践中，最为常用为APARCH(1,1)模型。11())qptitiitijtjija2100第一节GARCH类模型GARCH模型扩展案例分析第一节GARCH类模型多元GARCH模型向量GARCH模型多元GARCH模型向量表达形式式中，为向量半算子或拉直向量算子，它能将一个矩阵的下三角部分转化为一个维的向量；为维向量，为条件协方差阵中不随时间变化的部分；为维方阵11111vech()=+vech()vech()+()vech()()vech()qptititijtjijtttLLHWAεεBHWAεεBHvech()NN*(1)/2NNNW*1N,ijAB**NN第一节GARCH类模型多元GARCH模型对角GARCH模型对角多元GARCH(p,q)模型可以表示为：式中，及分别为和中对角线上的元素；diag(.)表示相应元素构成的对角矩阵。模型能够保证在任一时刻正定。1(1)/211(1)/21vechdiag(,,)vechdiag(,,)vechqtiiNNtitiipjjNNtjjaabbHWεεH第一节GARCH类模型多元GARCH模型BEKK模型令表示维向量随机过程，且，，其中为N阶单位阵。则BEKK模型可以表示为式中，是一个下三角矩阵；为参数矩阵。tε1N1/2tttεHξ~..()tiidNξ0,II**0011111qpKKtiktitiikjktjkkikjHWWAεεABHB*0W,ikjkABNN第一节GARCH类模型多元GARCH模型BEKK模型BEKK模型的向量表达式式中，为Kronecker积。由BEKK表示的向量随机过程的协方差平稳（即宽平稳）的充分必要条件是矩阵所有特征值的模小于1。00-1111vech()vechvechvech()qpKKtNikiktitijkjktjkikjHWWIAAεεBBHtε1111qpKKikikjkjkkikjAABB第一节GARCH类模型多元GARCH模型CCC-GARCH模型记为维金融资产收益向量