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第1页共8页[命题报告·教师用书独具]一、选择题1.(2013年长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是()A.x281+y272=1B.x281+y29=1C.x281+y245=1D.x281+y236=1解析:依题意知:2a=18,∴a=9,2c=13×2a,∴c=3,∴b2=a2-c2=81-9=72,∴椭圆方程为x281+y272=1.答案:A2.(2013年长春模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为()A.32B.34C.22D.23解析:先将x2+4y2=1化为标准方程x21+y214=1,则a=1,b=12,c=a2-b2=32.离心率e=ca=32.第2页共8页答案:A3.(2013年佛山月考)设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为()A.1B.83C.22D.263解析:由题意知,点P即为圆x2+y2=3与椭圆x24+y2=1在第一象限的交点,解方程组x2+y2=3,x24+y2=1,得点P的横坐标为263.答案:D4.(2013年江西七校联考)设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=()A.23B.1C.43D.53解析:由椭圆E:x2+y2b2=1(0b1)知,a=1,∵|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|.∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,∴2|AB|=|AF2|+|BF2|,于是2|AB|=4-|AB|,∴|AB|=43.答案:C5.(2013年温州模拟)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,右焦点为F(c,0),第3页共8页方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能解析:由已知得e=ca=12,则c=a2.又x1+x2=-ba,x1x2=-ca,所以x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+2ca=b2+2caa2=b2+a2a22a2a2=2,因此点P(x1,x2)必在圆x2+y2=2内.答案:A二、填空题6.(2013年南京模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点,若椭圆上一点P满足|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的离心率e=________.解析:由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4,所以2a=4,解得a=2,又c=1,所以e=ca=12.答案:127.(2013年江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为________.解析:由题意知|OM|=12|PF2|=3,∴|PF2|=6.∴|PF1|=2×5-6=4.答案:48.(2013年泰安模拟)M是椭圆x29+y24=1上的任意一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则|MF1|·|MF2|的最大值是________.解析:|MF1|+|MF2|=2a,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2=9.答案:9第4页共8页9.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为________.解析:∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆方程知a=5,b=3,∴c=4,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=64,|PF1|+|PF2|=2a=10,解得|PF1||PF2|=18,∴△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=12×18=9.答案:9三、解答题10.(2013年德州模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,长轴端点与短轴端点间的距离为5.(1)求椭圆C的方程;(2)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若△OEF为直角三角形,求直线l的斜率.解析:(1)由已知ca=32,a2+b2=5,又a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,联立x24+y2=1,y=kx+4,消去y得(1+4k2)x2+32kx+60=0,Δ=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,令Δ0,解得k2154.设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(i)当∠EOF为直角时,第5页共8页则x1+x2=-32k1+4k2,x1x2=601+4k2,因为∠EOF为直角,所以OE→·OF→=0,即x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16=0,所以15×1+k21+4k2-32k21+4k2+4=0,解得k=±19.(ii)当∠OEF或∠OFE为直角时,不妨设∠OEF为直角,此时,kOE·k=-1,所以y1x1·y1-4x1=-1,即x21=4y1-y21,①又x214+y21=1,②将①代入②,消去x1得3y21+4y1-4=0,解得y1=23或y1=-2(舍去),将y1=23代入①,得x1=±235,所以k=y1-4x1=±5,经检验,所求k值均符合题意,综上,k的值为±19和±5.11.(2012年高考天津卷)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点P55a,22a在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率.解析:(1)因为点P55a,22a在椭圆上,故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58.于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38,第6页共8页所以椭圆的离心率e=64.(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0).由条件得y0=kx0.x20a2+y20b2=1.消去y0并整理得x20=a2b2k2a2+b2.①由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0得,(x0+a)2+k2x20=a2,整理得(1+k2)x20+2ax0=0.而x0≠0,故x0=-2a1+k2.代入①,整理得(1+k2)2=4k2·a2b2+4.由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=±5.12.(能力提升)(2013年徐州模拟)设椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点,且2F1F2→+F2Q→=0.(1)求椭圆C的离心率;(2)若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线x-3y-3=0相切,求椭圆C的方程;(3)在(2)的条件下,过右焦点F2的直线交椭圆于M,N两点,点P(4,0),求△PMN面积的最大值.解析:(1)设Q(x0,0).∵F2(c,0),A(0,b),则F2A→=(-c,b),AQ→=(x0,-b),又F2A→⊥AQ→,∴-cx0-b2=0,故x0=-b2c,又2F1F2→+F2Q→=0,第7页共8页∴F1为F2Q的中点,故-2c=-b2c+c,即b2=3c2=a2-c2,∴e=ca=12.(2)∵e=ca=12,∴a=2c,b=3c,则F2(c,0),Q(-3c,0),A(0,3c).∴△AQF2的外接圆圆心为(-c,0),半径r=12|F2Q|=2c=a.∴|-c-3|2=2c,解得c=1,∴a=2,b=3,椭圆方程为x24+y23=1.(3)设直线MN的方程为:x=my+1,代入x24+y23=1得(3m2+4)y2+6my-9=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),∴y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,|y1-y2|=y1+y22-4y1y2=43·3m2+33m2+4.∴S△PMN=12|PF2|·|y1-y2|=63·3m2+33m2+4,令3m2+3=λ≥3,∴S△PMN=63λλ2+1=63λ+1λ≤633+13=92,∴△PMN面积的最大值为92,此时m=0.第8页共8页[因材施教·学生备选练习]1.(2013年厦门质检)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若AB→·AF→2=0,|AB→|=|AF→2|,则椭圆的离心率为()A.6-3B.3-2C.3-1D.2-1解析:在Rt△ABF2中,设|AF2|=m,则|AB|=m,|BF2|=2m,所以4a=(2+2)m.又在Rt△AF1F2中,|AF1|=2a-m=22m,|F1F2|=2c,所以(2c)2=22m2+m2=32m2,则2c=62m.所以椭圆的离心率e=2c2a=621+22=6-3.答案:A2.(2013年佛山模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆C:x2a6+y2a5=1的离心率为________.解析:由题意得a4=10,设公差为d,则a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16a5,∴e=16-134=34.答案:34高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库
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