[09.11]工科高数第四章答案

第四章不定积分习题A（作业题）1．（1）原式=cxdxx3231)23(43)23(21（2）原式=cxxdxdxxxcos2cos)(cos)(cossin2323（3）原式=xdxxxxdxarcsin2arcsin2arcsin2cxxxdxxxxxx12arcsin22112arcsin22．cxdxxyln13)(2ey，得1c，故1lnxy习题B（练习题）1．填空题（1）cy（2）cxcos2（3）cex（4）xdxxxcossin)ln(sin（5）cx221（6）2cos2xx（7）)2(xf（8）cx232)1(31（9）xarcsin（10）cxx2sincos（11）67213123xx，原题改为dxxxdxxf)()('2（12）cxx2lnln2（13）cxx2)1ln(2．选择题（1）A（2）C（3）B（4）B（5）A（6）B（7）B（8）B(9)、D(10)、B(11)、C3、计算下列不定积分:(1)cxxdxxxxdxxxxsectan)tansec(sec)tan(secsec2(2)cxxxdxdxx1110210tan111tantansectan(3)cxxdxxxdxxdxxxdxxxdxxxx)ln(lnlnlnlnlnln1lnlnlnln1lnlnlnln1lnlnln1lnlnln1(4)cxxxxdxxdxxxxxdxxxxxdxxxsincosln)cos(sinsincos1sincossincoscossin1cossin1tan1tan1(5)cttdtdtttcos2sin2sin（6）cexedexdxeedxeeedxexxxxxxxxx|1|ln)1(11)11(1111（7）cxxdxdxxx2)2tan(ln212tanln2tanlnsin2tanln（8）cxxxxdxxxxxdxxxxxdxxdxxdxxx2tan212tan)1(sec212tan)tantan(21tan21tantansectan2222222（9）cxxdxdxxx)21(2arcsin)2()21(411)1(12（10）cxxxxddxxxxln1ln1)ln(ln12（11）dxxx1arcsin设txarcsin,则tx2sin.得到原式为：cxxxcttttdtttttdtdtttdtttt2arcsin12sin2cos2)coscos(2cos2sin2cossin2cos（12）cxxxxdxxdxxxx|103|ln)103(1031103322222（13）ceeceedeeedeedxeexxxxxxxxxxx|11|ln21|1|ln|1|ln21)1111(211112）（（14）cxxxxdxxdxxxx252323)ln(52)ln()ln()ln1()ln(（15）txdxx2211设原式cxxcttdttdttt|12|ln2|1|ln)111(1（16）311x3132txtdxxx设cxxcttdttt353522)13(272)13(452272452)1(92原式（17）xttxxxdx1arccossec12设原式=cxxddttdtt1arccos1arccossectansec1(18)dxxx21设txtan则xtarctancxxxxcttdtttttdttdttdxxx|11|ln1|2tan|lnsecsin1sintantansin1tantansec1222原式(19)cxxxdxxdxxx21arcsin)1(421)1(423222(20)cexdedxxxexxx22211211321111)1((21)cxxxdxxxxxdxxxxxdxdxx3323333291ln3131ln31ln3131ln31lnln(22)cxxxxxdxxxdxxxxxxxxdxxdxxarctanarctan)111(arctan211arctanarctanarctanarctan(23)cxecexexdxexexexdxxexxdexdxxexxxxxxxxxx221)1(21)1()1(2121)1(21)1()2()1(2(24)cxxxxdxxxdxxx122ln51))12ln(21)2ln(21(52)121)2(21(5223212(25)cxxxcxxxdxxxdxxdxxdxxxxxDCBADBADCBDCBACxDCxxBxAxxdxxx11ln21221|1|ln41|1|ln2111211211121)1(121)121121)1(21(0,21,21002020B11)1()1()1(1)1()1(1222222222222原式于是所以得令(26)cxxxxxdxxxddxxxxdxxxxxxdxxxxx|32|ln532(3215)32225(3222)32(5321312522222222）(27)cxxxxdxxdxdxxdxxxdxdxxx23arctan4)136(ln)3(4)3(18]4)3[(4)3(1214)3(84)3(343)-(x5x1365x22222222(28)cxxcxxdxxxxCBAAcBAxxxxCBxxAdxxxx|)1(|ln|1|ln72||ln)121(0,2,1101)1(11)1(1727776777677原式则令(29)cxxxxxddxxxdxxxdxdxxxxdxxxxdxx2sin4814sin641162sin2sin161)4cos1(1612cos2sin812sin8122cos142sincoscossincossin3222222242（30）cxxxdxxdxxxdxxdxxxcos1coscos)cos11(coscos1coscoscossincossin22222234、求过点)0,21(且满足关系式11arcsin'2xyxy的曲线方程。解：1)'arcsin(1arcsin'2xyxyxy于是对等式二端求积分得:cxxydxdxxyarcsin1)'arcsin(且方程过2166210),0,21(c带入方程求得216arcsinxxy所以曲线方程为5、已知)(xf的一个原函数为xxxsin1sin，求dxxfxf)(')(解：22)sin1(sincos)'sin1sin()('xxxxxxxxfCxxxCxfxdfxfdxxfxf222)sin1(sin21)(21)()()(')(6、已知曲线)(xfy在任意点处的切线斜率为632xax，且1x时211y为极大值，试确定)(xf，并求)(xf的极小值。解：Cxxxadxxaxxf6233)63()(232由于)(xf在1x时有极大值故0)1('f且211)1(f于是063)1('af解得3a由1x时211y可知211)1(f求得2C于是2623)(23xxxxf令0)2)(1(3633)('2xxxxxf求得1x或2x，当x在2的左侧邻近时，;0)('xf当x在2的右侧邻近时，;0)('xf于是，当2x时函数取到极小值，且极小值8)2(f7、已知曲线)(xfy过点)21,0(且其上任一点),(yx处的切线斜率为)1ln(2xx，求曲线方程。解：cxxxcxxxxxdxdxxxdxxxxxxdxxxdxxdxxxxf222122222222222222222222221)1ln()1(21)]1ln()1ln([21)]1(111)1ln([21]1)1ln([21])1ln()1ln([21)1ln(21)1ln()(由题知：21)0(f故21c于是得曲线方程：2121)1ln()1(21)(222xxxxf习题C（提高题）1、计算xdxex4sin2sin52解：cedexdxexxx2sin52sin52sin52224sin2、计算dxxx)1(110解:令yx1，则cxcyydydyyydxxx)11ln(101)1ln(101)1(111011)1(110101010109103、计算dxexxexxxx)13()(22解：Cexxexxdexxdxexxexxxxxxx2322222])[(32)()(2)13()(4、计算dxxx)1,,max(23解：由图像可知]1,1[1),1(4341)1,(3231)1,,max(43,32,1411141411131113131,1]1,1[1),1(41)1,(31)1,,max(4332232133233224331331132324313223xCxdxxCxdxxxCxdxxdxxxCCCCCCCCCCxdxCCxdxxxCCCCxdxCCxdxxxxCxdxxCxdxxxCxdxxdxxx则令时，当时当5、设)(xyy是由xyyx333所确定的隐函数，试求dxxyxyy2)1(解：Cxydxxydxxyxxxyydxxyxyydxxyxyyxyxyyxyyx2222222223321)'()1()1('3二边同时求导得对(6)设010sin)(xexxxfx，求dxxf)1(解：111)1sin()1()1(xexxxfx于是：1)1(11)1cos()1sin()1(,11C)1(1)1sin(11)1(1)1cos()1sin()1()1()1(21122)1(12)1()1(1xCxedxexCxdxxdxxfCCCCCCCdxeCdxxxxCxedxexCxdxxdxxfxxxxx设时，当