[原创]2012年数学一轮复习精品试题第33讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1第三十三讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a)(12＋12－a)0，即(a＋7)(a－24)0，∴－7a24.答案：B2．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a≥43B．0a≤1C．1≤a≤43D．0a≤1或a≥43解析：先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB及其内部，交点B为23，23，故当x＋y＝a过点B时a＝43，所以2a≥43时可行域仍为△AOB，当x＋y＝a恰为A点时，a＝1＋0＝1，故当0a≤1时可行域也为三角形．故0a≤1或a≥43.答案：D3．已知实数x、y满足：x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值()A．18B．19C．20D．21解析：z＝|x＋2y－4|＝5·|x＋2y－4|12＋22，可以看做是x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，对应的平面区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍，结合图形可知|x＋2y－4|的最大值是z＝5·|7＋2×9－4|5＝21，故选D.答案：D4．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为()3A.14B.35C.4D.53解析：由题意分析知，目标函数z＝ax＋y(a0)所在直线与直线AC重合时，满足题意，则由－a＝kAC＝225－21－5，得a＝35.故选B.答案：B5．如果实数x，y满足x－4y＋3≤03x＋5y－25≤0，x≥1目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为()A．2B．－2C.15D．不存在解析：如图为x－4y＋3≤03x＋5y－25≤0x≥1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点A1，225，B(1,1)，C(5,2)，由于3x＋5y－25＝0在y轴上的截距为5，故目标函数z＝kx＋y的斜率－k－35，即k35.将k＝2代入，过点B的截距z＝2×1＋1＝3.4过点C的截距z＝2×5＋2＝12.符合题意．故k＝2.故应选A.答案：A6．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则yx－a的最大值是()A.23B.25C.16D.14解析：目标函数z＝x＋ay可化为y＝－1ax＋1az，由题意a0且当直线y＝－1ax＋1az与lAC重合时符合题意．此时kAC＝1＝－1a，∴a＝－1.yx－a的几何意义是区域内动点与(－1,0)点连线的斜率．显然yx－a＝24－(－1)＝25最大．故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若x，y满足0≤x≤2，0≤y≤2，x－y≥1，则(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是________．5解析：可行域如图：(x－1)2＋(y－1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是12，2.答案：12，28．设m为实数，若(x，y)x－2y＋5≥0，3－x≥0，mx＋y≥0，⊆{(x，y)|x2＋y2≤25}，则m的取值范围是________．解析：由题意知，可行域应在圆内，如图．如果－m0，则可行域取到－∞，不能在圆内；故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时－m＝－43，∴m＝43.∴0≤m≤43.答案：0≤m≤439．某实验室需购某处化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费________．6解析：设需要35千克的x袋，24千克的y袋，则总的花费为z元，则35x＋24y≥106，x0时，且x∈Z，y0时，且y∈Z.求z＝140x＋120y的最小值．由图解法求出zmin＝500，此时x＝1，y＝3.另外，本题也可以列举出z的所有可能取值，再求其中的最小值．由于x＝0,1,2,3,4时相应的y值和花费如下：当x＝0，y＝5时，z＝600；当x＝1，y＝3时，z＝500；当x＝2，y＝2时，z＝520；当x＝3，y＝1时，z＝540；当x＝4，y＝0时，z＝560.易见最少花费是500元．答案：500元10．当不等式组x≥0，y≥0，kx－y＋2－k≥0(k0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k的值等于________．解析：不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kx－y＋2－k＝0(k0)是不确定的，但这条直线可化为y－2＝k(x－1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题．如图所示，设围成区域的面积为S，则S＝12·|OA|·|OB|＝12·|2－k|·1－2k，因为k0，所以－k0，有S＝124－k－4k＝124＋(－k)＋－4k≥12(4＋24)＝4，当且仅当－k＝－4k，即k＝－2时，平面区域最小．故填－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可7住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满足18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，且z＝200x＋150y.x≥0，y≥0，y∈Z.∴6x＋5y≤60，5x＋3y≤40，x≥0，y≥0，x，y∈Z.可行域为如图所示的阴影(含边界)作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0把直线l向右上方平移至l1的位置时，交点为B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y解方程组6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得到B207，607.由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必须都是整数，所以，可行域内的点B207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z＝200x＋150y取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益．评析：本题是一道用线性规划求解的实际应用问题，难点在于求目标函数的最优整数解．这里所用到的方法即是“局部微调法”，需要先判断出在B点取得最大值，再在B点附近区域做微调，找到满足题意的整数解．812．设实数x、y满足不等式组1≤x＋y≤4，y＋2≥|2x－3|.(1)求作点(x，y)所在的平面区域；(2)设a－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)＝y－ax的最大值和最小值．分析：先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件，然后作出可行域，并找出最优解．解：(1)已知的不等式组等价于1≤x＋y≤4，y＋2≥2x－3，2x－3≥0，或1≤x＋y≤4，y＋2≥－(2x－3)，2x－3＜0.解得点(x，y)所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝b在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．∵a－1，∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大．∵C点的坐标为(－3,7)，∴f(x，y)的最大值为7＋3a.如果－1a≤2，那么直线l过顶点A(2，－1)时，f(x，y)最小，最小值为－1－2a.如果a2，那么直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.评析：本题是一道综合题，利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题，从而使问题迎刃而解．913．已知x，y满足条件：7x－5y－23≤0，x＋7y－11≤0，4x＋y＋10≥0.M(2,1)，P(x，y)．求：(1)y＋7x＋4的取值范围；(2)OMOP的最大值；(3)|OP|cos∠MOP的最小值．解：如图所示，画出不等式组7x－5y－23≤0，x＋7y－11≤0，4x＋y＋10≥0所表示的平面区域：其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)y＋7x＋4可以理解为区域内的点与点D(－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角．kDB＝13，kCD＝9，所以y＋7x＋4的取值范围为13，9.(2)由于OMOP＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y，令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，z表示直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，由可行域可知，当直线y＝－2x＋z经过A点时，z取到最大值，这时z的最大值为zmax＝2×4＋1＝9.(3)OPcos∠MOP＝cosOMOPMOPOM＝5OMOP＝2x＋y5，10令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，z表示直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，由(3)可知，当直线y＝－2x＋z经过B点时，z取到最小值，这时z的最小值为zmax＝2×(－1)－6＝－8，所以OPcos∠MOP的最小值等于－85＝－855.评析：本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目，这类问题有比较典型的解析几何背景和平面向量的意义，一般地，在解答时常常借助几何图形的直观性求解，体现了数形结合思想的应用．