_高等数学(A)_考试大纲

“高等数学(A)”考试大纲试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试，旨在遵循网络教育应用型人才的培养目标，针对从业人员继续教育的特点，重在检验学生掌握基础知识的水平及应用能力，全面提高现代远程高等学历教育的教学质量。“高等数学”课程是现代远程教育试点高校网络教育实行全国统一考试的部分公共基础课之一。该课程的考试是一种基础水平检测性考试，考试合格者应达到与成人高等教育本科相应的高等数学课程要求的水平。考试对象教育部批准的现代远程教育试点高校网络教育学院和中央广播电视大学“人才培养模式改革和开放教育试点”项目中自2004年3月1日(含3月1日)以后入学的本科层次学历教育的学生，应参加网络教育部分公共基础课全国统一考试。“高等数学(A)”考试大纲适用于数学类专业的高中起点本科学生。考试目标高等数学是高等院校数学类专业学生的基础课程之一，是培养学生运算能力、抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、综合运用所学知识分析和解决问题能力的课程，是学生学习后继课程和进一步获得近代科学技术知识的必备基础。本课程的考试目标是考查学生的高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和常用的运算技能，并以此检测学生分析问题和解决问题的能力。本大纲对内容的要求由低到高。对概念和理论分为“了解、理解”两个层次，对方法和运算分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。考试内容与要求一、函数、极限、连续(一)函数1．考试内容函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，由参数方程所确定的函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。2．考试要求(1)理解函数的概念，掌握函数的表示法，会求函数的定义域。(2)理解函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性。(3)理解分段函数、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的概念。(4)掌握基本初等函数的性质和图像。理解初等函数的概念。(5)会根据实际问题建立函数表达式。(二)极限1．考试内容数列极限的定义和性质，函数极限的定义和性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质和无穷小的比较，极限的四则运算法则，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限：e11lim1sinlim0xxxxxx2．考试要求(1)理解数列极限和函数极限的概念(包含了解极限定义中“N”，“”等形式的表述)。(2)会求数列的极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。(3)掌握极限的性质和四则运算法则。(4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。会用等价无穷小求极限。(5)会利用极限存在的两个准则求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。(三)连续1．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数间断点的类型，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(有界性定理，最大值、最小值定理和介值定理)。2．考试要求(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会判断函数间断点的类型。(2)掌握连续函数的四则运算法则。(3)理解复合函数、反函数和初等函数的连续性。(4)掌握闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。二、一元函数微分学(一)导数与微分1．考试内容导数和微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数和微分的四则运算法则，导数和微分的基本公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。2．考试要求(1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。(2)理解函数可导性、可微性、连续性之间的关系。(3)会求平面曲线的切线方程和法线方程。(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。(5)会求反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的导数。(6)了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。(7)了解微分的概念。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，洛必达法则，泰勒公式，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线。2．考试要求(1)理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理、泰勒公式。(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。会用单调性证明不等式。(4)理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。(5)会判断平面曲线的凹凸性，会求平面曲线的拐点。(6)会求平面曲线的水平、铅直渐近线。三、一元函数积分学(一)不定积分1．考试内容原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分换元积分法和分部积分法。2．考试要求(1)理解原函数和不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。(2)熟练掌握不定积分的基本公式。(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。(二)定积分1．考试内容定积分的概念和基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)，广义积分。2．考试要求(1)理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。(4)熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。(6)了解广义积分的概念。会计算广义积分。四、多元函数微积分(一)多元函数微分学1．考试内容空间直角坐标系，平面方程，常用二次曲面方程及其图形，多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续性，偏导数和全微分，二元函数可微性、偏导数存在性、连续性之间的关系，复合函数和隐函数的求导法，二阶偏导数，二元函数的极值。2．考试要求(1)了解空间直角坐标系、平面方程和常用二次曲面(柱面、球面、椭球面、旋转抛物面、圆锥面)的方程及其图形。(2)了解多元函数的概念。了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限和连续性的概念。(3)理解偏导数的概念。了解全微分的概念。了解二元函数可微性、偏导数存在性、连续性之间的关系。(4)会求二元函数的一阶、二阶偏导数，会求二元函数的全微分。(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法。(6)会求由方程0,,zyxF所确定的隐函数yxzz,的一阶偏导数。(7)掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值。(二)二重积分1．考试内容二重积分的概念与性质，二重积分的几何意义，二重积分的计算法。2．考试要求(1)了解二重积分的概念和性质。了解二重积分的几何意义。会用二重积分计算曲顶柱体的体积。(2)掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序。(3)掌握利用极坐标系计算二重积分的方法。五、无穷级数(一)数项级数1．考试内容数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本性质，几何级数和p-级数，正项级数的比较审敛法、比值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛和条件收敛。2．考试要求(1)理解数项级数的概念，了解级数收敛的概念，了解级数的基本性质。(2)掌握几何级数和p-级数收敛的条件。(3)会用正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。(4)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会利用莱布尼茨定理判别交错级数的收敛性。(二)幂级数1．考试内容幂级数的概念，幂级数的收敛半径和收敛区间，幂级数的和函数，幂级数在收敛区间内的基本性质，初等函数的幂级数展开。2．考试要求(1)了解幂级数的概念。(2)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。(3)了解幂级数在收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)。(4)会利用逐项微分和逐项积分求一些幂级数在收敛区间内的和函数。(5)掌握xxx11,sin,e的幂级数展开，并会用它们将一些简单的函数间接展开成关于x的幂级数。试卷结构与题型一、试卷分数满分100分。二、试题类型单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程。解答题包括计算题、应用题和证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。三、题型比例单项选择题约20%，填空题约30%，解答题约50%(其中证明题不超过10%)。四、试题难度试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例约为4∶4∶2。五、试卷内容比例一元函数微积分(含函数与极限)约60%，多元函数微积分约25%，级数约15%。考试方式与时间考试方式：闭卷笔试(不准使用计算器)。考试时间：120分钟。题型示例“高等数学(A)”样卷题号一二三总分1~56~1213141516171819分数一、选择题(满分20分)本大题共5个小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。1．设函数)(xf在(−∞，+∞)内有定义，且0)(xf，函数2)(axfaxfxF(其中a为常数)，则在(−∞，+∞)内)(xF为A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．奇偶性与a有关的函数答：2．当0x时，下列变量中是无穷小的为A．xeB．xx11C．x21lnD．xxcos答：3．函数)(xfy的图形如图示，则曲线)(xfy在区间b,0(其中b为大于零的常数)上拐点的个数为A．0B．1C．2D．3答：yx0b4．设函数)(xf在闭区间ba,上连续，则曲线)(xfy与直线bxax,和0y所围成的平面图形的面积等于A．baxxfd)(B．baxxfd)(C．baxxfd)(D．xxfbad)(答：5．设),(yxf为连续函数，则二次积分1010d),(dxyyxfx等于A．1010d),(dyxyxfyB．1010d),(dxxyxfyC．xxyxfy1010d),(dD．1010d),(dxyxfy答：二、填空题(满分28分)本大题共7个小题，每小题4分。把答案填在题中横线上。6．设函数00sin)(x0xxxxf，则()fx的间断点是__________。7．1limxxxx__________。8．设23zxyxy，则2zxy=__________。9．设ln1yx，则nnxydd__________。10．1201dxx=__________。11．设)(xf为连续函数，Fx是fx的原函数，则(ln)dfxxx__________。12．级数1113nnnnx的收敛半径R__________。三、解答题(满分52分)本大题共7个小题。解答应写出推理、演算步骤。13．(本题满分7分)求极限20sinlimsinxxxxx。14．(本题满分7分)设平面曲线的方程为33222yxyx，求曲线上点(2,1)处的切线方程。15．(本题满分7分)设函数2xzy，求dz。16．(本题满分7分)将函数211fxx展开成关于x的幂级数。17．(本题满分8分)计算0edxx。18．(本题满分8分)求22(1)ddDxyxy，其中D是由22,0,1yxyxy在第一象限内所围成的区域。19．(本题满分8分)证明不等式xxxx)1ln(1，(x0)。答案“高等数学(A)”样卷答案题