2014考研数学备考重点解析如何求幂级数的收敛半径和收敛域

2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域一、相关定理阿贝尔定理：(1)若1nnnxa当)0(00xxx时收敛，则当||||0xx时，1nnnxa绝对收敛.(2)若1nnnxa当0xx时发散,则当||||0xx时，1nnnxa发散.二、具体型问题的收敛半径、收敛域的求法1.通用求法：根据阿贝尔定理，1nnnxa绝对收心理学考研敛，所以把nnax加绝对值后，由比值法或根植法可反解出收敛区间.即令11lim1nnnnnaxax或lim1nnnax解出x的范围，即可得出收敛区间与收敛半径.2.便捷求法（针对不缺项的幂级数）：如果nnnaa1lim,则1R；或如果nnna||lim,则1R.特别0时，R；时，0R3.再单独讨论收敛区间两个端点处的常数项级数的敛散性,收敛区间与收敛端点结合在一起就是收敛域.三、抽象型问题的收敛半径、收敛域的求法根据阿贝尔定理，已知01()nnnaxx在某点1x（10xx）的敛散性，确定该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：（1）若在1x处收敛，则收敛半径10Rxx；（2）若在1x处发散，则收敛半径10Rxx；（3）若在1x处条件收敛，则收敛半径10Rxx.（你会心理学考研用反证法证明该条么？）【例1】求nnnnxn)1()2(31的收敛域.【解析】nnnnnnnnnnnnnnnuu)2(3)2(3lim)2(31)2(3limlim111113)32(1)32(23limnnn.或3)32(1lim3)2(3lim||limnnnnnnnnnnnnu.则收敛半径31R.当311x时，原级数为1111)32(131)2(3nnnnnnnnnn，由于11nn发散，11)32(nnn收敛，则原幂级数在311x处发散.当311x时，原级数为111)32(1)1(3)1()2(3nnnnnnnnnnnn，则原幂级数在311x处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.【例2】求幂级数212(3)nnnnnx的收敛半径.【解析】这是缺项级数，只能用通用求法来求收敛半径，即222111212(3)limlim132(3)nnnnnnnnnnnxuxnux，得(3,3)x，收敛半径为3.【例3】例7.22设幂级数1)1(nnnxa在0x收敛,在2x发心理学考研散,则该幂级数收敛域为____.【解析】由于幂级数1)1(nnnxa在0x处收敛，可知当|01|R，即1R；该级数在2x处发散，可知当|21|R，即1R.所以收敛半径1R，该幂级数收敛域为).2,0[