§3.3多维随机变量函数的分布

3.3多维随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布以二维为例讨论，设二维随机变量(,)XY的取值为(,),(,),ijxyZfXY随机变量Z的取值为kz.令{(,):(,)}kijijkCxyfxyz，则()((,))kijkPZzPfxyz.(,)((,))ijkijkijxyCPxyCp例3.3.2（泊松分布的可加性）设12~(),~(),XPYP且X与Y相互独立．证明12~().ZXYP证明：略．注证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有1212()()()().nnPPPP例3.3.3（二项分布的可加性）设~(,),~(,),XbnpYbmp且X与Y相互独立．证明~(,).ZXYbmnp证明略．注：（1）该性质可以推广到有限个场合1212(,)(,)(,)(,)kkbnpbnpbnpbnnnp（2）特别当121knnn时，(1,)(1,)(1,)(,)bpbpbpbnp这表明，服从二项分布(,)bnp的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机变量之和．二、最大值与最小值的分布例3.3.4（最大值分布）设12,,,nXXX是相互独立的n个随机变量，若12max(,,).nYXXX设在以下情况求Y的分布：（1）~(),1,2,,;iiXFxin（2）iX同分布，即~(),1,2,,;iXFxin（3）iX为连续随机变量，且iX同分布，即iX的密度函数为(),1,2,,;pxin（4）~(),1,2,,.iXExpin解略．注这道题的解法体现了求最大值分布的一般思路．例3.3.5（最小值分布）设12,,,nXXX是相互独立的n个随机变量；若12min(,,)nYXXX，试在以下情况下求Y的分布：（1）~(),1,2,,;iiXFxin（2）iX同分布，即~(),1,2,,;iXFxin（3）iX为连续随机变量，且iX同分布，即iX的密度函数为(),1,2,,;pxin（4）~(),1,2,,.iXExpin解略．注这道例题的解法体现了求最小值分布的一般思路．三、连续场合的卷积公式定理3.3.1设X与Y是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为()Xpx、()Ypy，则其和ZXY的密度函数为()()().ZXYpzpzypydy证明略．本定理的结果就是连续场合下的卷积公式．例3.3.6（正态分布的可加性）设221122~(,),~(,),XNYN且X与Y相互独立．证明221212~(,).ZXYN证明略注任意n个相互独立的正态变量的非零线性组合仍是正态变量．四、变量变换法1、变量变换法设(,)XY的联合密度函数为(,)pxy，函数12(,),(,).ugxyvgxy有连续偏导数，且存在唯一的反函数(,),(,)xxuvyyuv，其变换的雅可比行列式11(,)(,)0.(,)(,)uuxyxyxyuvuuJxyvvuvxyvvxy若12(,)(,),UgXYVgXY则(,)UV的联合密度函数为(,)((,),(,)).puvpxuvyuvJ这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书．例3.3.9设X与Y独立同分布，都服从正态分布2(,)N，记,.UXYVXY试求(,)UV的联合密度函数．UV与是否相互独立？解略．2、增补变量法增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续随机变量(,)XY的函数(,)UgXY的密度函数，增补一个新的随机变量(,)VhXY，一般令VX或VY．先用变换法求出(,)UV的联合密度函数(,)puv，再对(,)puv关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数．例3.3.10（积的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为()Xpx和()Ypy.则UXY的密度函数为1()()().UXYpupuvpvdvv证略．例3.3.11（商的公式）设X与Y相互独立，其密度函数分别为()Xpx和()Ypy，则UXY的密度函数为()()().UXYpupuvpvvdv证略．注例3.3.10和例3.3.11的结果可以直接用来解题．