2012年高三数学一轮复习资料第二章-基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用第4讲函数与方程

-1-第4讲函数与方程★知识梳理一、函数的零点方程0)(xf的实数根又叫做函数))((Dxxfy的零点。方程()0fx有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点；②如果函数()yfx在区间(,)ab上的图像是连续不断的，且有()()0fafb，则函数()yfx在区间(,)ab上有零点。二、二分法1．如果函数()yfx在区间],[nm上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(nfmf，通过不断地把函数()yfx的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2．给定精度，用二分法求函数)(xfy的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间],[nm，验证0)()(nfmf，给定精度；（2）求区间],[nm的中点1x；（3）计算)(1xf：①若0)(1xf，则1x就是函数)(xfy的零点；②若0)()(1xfmf，则令1xn（此时零点),(10xmx）；③若0)()(1nfxf，则令1xm（此时零点),(10nxx）（4）判断是否达到精度；即若nm，则得到零点值m（或n）；否则重复步骤（2）-（4）★重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数)(xfy零点的近似值难点：用二分法求函数)(xfy的零点近似值重难点：1．函数零点的理解函数()yfx的零点、方程0)(xf的根、函数()yfx的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程0)(xf根的个数就是函数()yfx的零点的个数，亦即函数()yfx的图像与x轴交点的个数-2-变号零点与不变号零点①若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数)(xf的变号零点②若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数)(xf的不变号零点③若函数)(xf在区间][ba，上的图象是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是)(xf在区间)(ba，内有零点的充分不必要条件。用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线)(xfy和)(xgy的交点的横坐标，实际上就是求函数)()(xgxfy的零点，即求方程0)()(xgxf的根3．关于用二分法求函数)(xfy的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②)()(bfaf、的值比较容易计算且0)()(bfaf；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程)()(xgxf的根，可以构造函数)()()(xgxfxF，函数)(xF的零点即方程)()(xgxf的根。★热点考点题型探析考点1零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点.[例1]求函数2223xxxy的零点.[解题思路]求函数2223xxxy的零点就是求方程02223xxx的根[解析]令32220xxx，∴2(2)(2)0xxx∴(2)(1)(1)0xxx，∴112xxx或或即函数2223xxxy的零点为-1，1，2。[名师指引]函数的零点不是点，而是函数函数()yfx的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数.[例2]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.-3-[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数就是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x－6在定义域(0,)上连续单调递增，又有(1)(4)0ff，所以函数f(x)=lnx＋2x－6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数即求ln62yxyx的交点的个数。画图可知只有一个。[名师指引]求函数)(xfy的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(xf的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3](2007·广东)已知a是实数,函数axaxxf3222,如果函数xfy在区间1,1上有零点，求a的取值范围。[解题思路]要求参数a的取值范围，就要从函数xfy在区间1,1上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为2x的系数，故要对a进行讨论[解析]若0a,()23fxx,显然在1,1上没有零点,所以0a.令248382440aaaa,解得372a①当372a时,yfx恰有一个零点在1,1上;②当05111aaff，即15a时，yfx在1,1上也恰有一个零点.③当yfx在1,1上有两个零点时,则-4-208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a综上所求实数a的取值范围是1a或352a.[名师指引]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.[新题导练]1．（09年浙江五校联考）函数221fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是（）A．,1；B．,01；C．,00,1；D．,1[解析]B；依题意得（1）0)0(04)2(02fmm或（2）0)0(04)2(02fmm或（3）04)2(02mm显然（1）无解；解（2）得0m；解（3）得1m又当0m时12)(xxf，它显然有一个正实数的零点，所以应选B2．（中山市09届统测）方程223xx的实数解的个数为_______[解析]2；在同一个坐标系中作函数xy)21(及32xy的图象，发现它们有两个交点故方程223xx的实数解的个数为2考点2用二分法求方程的近似解[例4]（斗门一中09届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…-5-2xy1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…2yx0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程22xx的一个根位于下列区间的（）.A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D.（2.6，3.0）[解题思路]判断函数22)(xxfx在各个区间两端点的符号[解析]由036.0516.1)6.0(f，00.10.2)0.1(f，故排除A；由096.1639.2)4.1(f，024.3482.3)8.1(f，故排除B；由024.3482.3)8.1(f，084.4595.4)2.2(f，故可确定方程22xx的一个根位于下列区间（1.8，2.2），所以选择C[名师指引]用二分法求方程0)(xf的近似解的关键是先寻找使得函数)(xf在两端点异号的某区间，然后依次取其中点，判断函数)(xf在中点的符号，接着取两端函数值异号的区间作为新的区间，依次进行下去，就可以找到符合条件的近似解。[新题导练]3．用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)0(f，0)5.0(f，可得其中一个零点0x，第二次应计算，这时可判断0x[解析])5.0,0(，)25.0(f，)5.0,25.0(；由二分法知)5.0,0(0x，这时0125.0325.0)25.0(3f，故)5.0,25.0(0x考点3根的分布问题[例4]已知函数f（x）=mx2+（m－3）x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论[解析]（1）若m=0，则f（x）=－3x+1，显然满足要求.（2）若m≠0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则0104)3(212mxxmmΔm＜0；-6-都在原点右侧，则,01,023,04)3(21212mxxmmxxmmΔ解得0＜m≤1，综上可得m∈（－∞，1］.[名师指引]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0.②二次方程f（x）=0的两根都大于r.0)(,2,042rfarabacbΔ③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根.0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacbΔ④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.⑤方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）.0)(,0)(qfapfa[新题导练]3．已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_________.[解析](－3，23）只需f(1)=－2p2－3p+90或f(－1)=－2p2+p+10即－3＜p＜23或－21＜p＜1.∴p∈(－3,23).4．若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.[解析]1223k；令12)2()(2kxkxxf，则依题意得0)2(0)1(0)0(fff，即01242401221012kkkkk，解得1223k-7-5.(2007·韶关)若关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.[解析]令t=2x，t0关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根,令f(t)=t2+at+a+1，且442aa故方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)0,得a-1（2）方程有两个相等的正数根：由222020aa（3）方程有两个不相等的正数根或有一个零根一个正根时：由22210)0(020afa求（1）（2）（3）的并集，得实数a的取值范围：]222,([备选例题]（佛山市三水中学09届）下图是函数xy21和23xy图象的一部分,其中212101,xxxxx时,两函数值相等.(1)给出如下两个命题:①当1xx时,2321xx;②当2xx时,2321xx.判断命题①②的真假并说明理由.(2)求证:1,02x[解析](1)命题①是假命题,反例:10x,则1xx,但是300103,102421210,2321xx不成立.命题②是真命题,因为xy21在,2x上是减函数,函数23x