2012年高三数学一轮复习资料第六章-数列第1讲-数列的概念

-1-第1讲数列的概念★知识梳理★1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.3.递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式.如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；②)2()1(11nSSnSannn.5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man.★重难点突破★1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.2.难点：用函数的观点理解数列.3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.问题1：已知nS是数列na的前n项和，)(11NnaSSnnn，则此数列是()A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.-2-解析：11nnnaSS，)2(1naSSnnn两式相减，得nnnnaaaa11，)2(0nan当1n时，0)(12211aaaaa，)(0Nnan，选C.问题2：数列na中，20072006nnan，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A.501,aaB.441,aaC.4445,aaD.5045,aa分析：由已知条件判定数列单调性，注意n的取值范围.解析：200720062007120072006nnnan，44,1n时，na递减；,45n时，na递减.结合图象，选C.★热点考点题型探析★考点1数列的通项公式题型1已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴,,33,17,9,5,3⑵,,0,71,0,51,0,31,0,1⑶,,9910,638,356,154,32⑷,,21,15,10,6,3,1【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中na和n的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，n)1(和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】⑴联想数列,,32,16,8,4,2即数列n2，可得数列的通项公式12nna；⑵将原数列改写为,,80,71,60,51,40,31,20,11分母分别为,,5,4,3,2,1分子分别为,,1,0,1,0,1呈周期性变化，可以用2sinn，或2)1(cosn，或21)1(1n表示.nnan2sin（或nnan21cos，或nann21)1(1）-3-⑶分子为正偶数列，分母为,,119,97,75,53,31得)12)(12(2nnnan⑷观察数列可知：,,4321,321,21,14321aaaa2)1(321,54321,432154nnnaaan本题也可以利用关系式naann1求解.【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型2已知数列的前n项和，求通项公式【例2】已知下列数列na的前n项和nS，分别求它们的通项公式na.⑴nnSn322；⑵13nnS.【解题思路】利用)2()111nSSnSannn（，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当1n时，51312211Sa，当2n时，)1(3)1(2)32(221nnnnSSannn14n.当1n时，15114a，14nan.⑵当1n时，41311Sa，当2n时，11132)13()13(nnnnnnSSa.当1n时，111232a，)2(32)1(41nnann.【名师指引】任何一个数列，它的前n项和nS与通项na都存在关系：)2()1(11nSSnSannn若1a适合na，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型3已知数列的递推式，求通项公式【例3】数列na中，)2(22,1111naaaannn，求5432,,,aaaa，并归纳出na.【解题思路】已知na的递推公式)(1nnafa求前几项，可逐步计算.-4-【解析】)2(22,1111naaaannn，3222112aaa，4222223aaa，5222334aaa，6222445aaa，由,62,52,42,32,22，可以归纳出12nan.【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.已知有穷数列：72,,11,7,5n，其中后一项比前一项大2.⑴求此数列的通项公式；⑵94n是否为此数列的项？【解析】⑴设数列的第k项为ka，则32)2(25kkak令23232nkkn，故该数列的通项公式)2,,3,2,1(32nkkak⑵令3294kn，解得32nk，232nn，94n不是有穷数列的项.2.数列na中，)(2321Nnnaaaan，求53aa的值.【解析】由)(2321Nnnaaaan，得当1n时，11a；当2n时，21321)1(naaaan两式相除，得)2()1(22nnnan.1625,4953aa，166153aa.3.数列na中，12,111nnaaa，求5432,,,aaaa，并归纳出na.【解析】12,111nnaaa31212aa，71223aa，151234aa，311245aa由,1231,1215,127,123,12154321，可以归纳出12nan考点2与数列的通项公式有关的综合问题题型1已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列na中，452nnan.⑴18是数列中的第几项？⑵n为何值时，na有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项na与n之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.-5-【解析】⑴由0145184522nnnn，解得7n，18是数列中的第7项.⑵49)25(4522nnnan，Nn2n或3n时，25242)(2minna.【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n为正整数.题型2已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性【例5】数列na中，122nnan.⑴求数列na的最小项；⑵判断数列na是否有界，并说明理由.【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证1nnaa，或1nnaa；⑵从“数列的有界性”定义入手.【解析】⑴11)1()1(22221nnnnaann01)1(12)1(1)1(1)()1()1(2222222nnnnnnnn1nnaa，数列na是递增数列，数列na的最小项为211a.⑵1111222nnnan，数列na有界.【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.【新题导练】4.数列na中，12832nnan，求na取最小值时n的值.【解析】31933143128322nnnan，5n时，na取最小值.5.数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项.【解析】12)1(1222)(122221nnnnnnnnaann，又022nnan，1nnaa，数列na是递增数列-6-数列na的最小项为311a，没有最大项.★抢分频道★基础巩固训练1.设数列,14,11,22,5,2，则24是这个数列的（）A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项【解析】C．)111(323224，选C．2.(2008年华师附中)数列na的前n项和为nS，且1,2221aaSSnnn，则数列na的首项为（）A．1或2B．1C．2D．1或2【解析】D．1,2221aaSSnnn中令1n，得2111)1(2aaa，1a1或23.(2009恩城中学)已知定义在正整数集上的函数)(xf满足条件：(1)2f，(2)2f,(2)(1)()fnfnfn,则(2009)f的值为（）A．－2B．2C．4D．－4【解析】B．利用数列的周期性，周期为4，.2)1()14505()2009(fff4.数列11322nn中数值最大的项是第项.【解析】35.(2009恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论.【解析】.)12()23()2()1(2nnnnn6.数列na中，nnnaaa12，5,221aa，则2009a的值是（）A．2B．2C．5D．5【解析】C．利用数列的周期性，除前4项后，周期为6，.551633842009aaa综合拔高训练7.(2009恩城中学节选)已知数列na的首项112a，其前n项和21nnSnan．求数列na的通项公式．【解析】由112a，2nnSna，①∴211(1)nnSna，②-7-①－②得：2211(1)nnnnnaSSnana，即，1121nnannan，∵13211221nnnnnaaaaaaaaaa12212143(1)nnnnnn，∴1(1)nann．8.设数列na的第n项na是二次函数，35,15,5321aaa，求4a.【解析】设cbnanan2，由5,5,5353915245cbacbacbacba5552nnan，655454524a.9.数列na中，1929922nnnan.⑴求这个数列的第10项；⑵10099是否为该数列的项，为什么？⑶求证：)1,0(na；⑷在区间32,31内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.【解析】⑴13231929922nnnnnan，312810a；⑵令2na299310099