§5微积分学基本定理定积分的计算(续)

§5微积分学基本定理定积分的计算（续）一变限积分与原函数的存在性设)(xf在],[ba上可积，则对],[bax，)(xf在],[xa上也可积，于是，由xadttfx)()(，],[bax定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分：bxdttfx)()(，],[bax)(x和)(x统称为变限积分。说明：由于xbbxdttfdttf)()(，因此，只要讨论变上限积分即可。定理9-9若)(xf在],[ba上可积，则xadttfx)()(在],[ba上连续。证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。定理9-10（原函数存在定理）若函数)(xf在],[ba上连续，则xadttfx)()(在],[ba上处处可导，且)()()(xfdttfdxdxxa，],[bax。证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(xf的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。定理9-11（积分第二中值定理）设)(xf在],[ba上可积。（1）若函数)(xg在],[ba上单调递减，且0)(xg，则],[ba，使得baadxxfagdxxgxf)()()()(。（2）若函数)(xg在],[ba上单调递增，且0)(xg，则],[ba，使得babdxxfbgdxxgxf)()()()(。推论设函数)(xf在],[ba上可积，函数)(xg在],[ba上单调，则],[ba，使得bbaadxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(。【解题要领】若函数)(xg在],[ba上单调递减，令)()()(bgxgxh，则对)(xh应用定理9-11即得；若函数)(xg在],[ba上单调递增，)()()(agxgxh，则对)(xh应用定理9-11即得。二定积分的换元积分法和分部积分法定理9-12（定积分的换元积分法）若函数)(xf在],[ba上连续，)(x在],[上连续可微，且满足a)(，b)(，bta)(，],[t，则有定积分的换元积分公式：)())(()())(()(tdtfdtttfdxxfba。注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。例1计算dxx1021。【解题要领】令txsin或txcos即可。例2计算202cossintdtt。【解题要领】令txcos，逆向应用换元积分公式即可。例3计算dxxxJ1021)1ln(。【解题要领】先令txtan，再令tu4即可。定理9-13（定积分的分部积分法）若)(xu、)(xv为],[ba上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：bababadxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(，或bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(。例4计算exdxx12ln例5计算20sinxdxJnn和20cosxdxInn。三泰勒公式的积分型余项设函数)(xf在点0x的某邻域)(0xU内有1n阶连续导数，令)(0xUx，则xxnndttftx0)()()1(xxnnnntfntftxntftx0)](!)()()()[()1(1)(xxdttf0)(0))(()([!)(!000xxxfxfnxfn)(!])(!)(0)(xRnxxnxfnnn。其中)(xRn即为)(xf的泰勒公式的n阶余项。由此可得)(xRnxxnndttxtfn0))((!1)1(，即为泰勒公式的积分型余项。由于)()1(tfn连续，ntx)(在],[0xx（或],[0xx）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，)(00xxx，10，使得)(xRn10)1()1())(()!1(1)()(!10nnxxnnxxfndttxfn。即为拉格朗日型余项。若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得)(xRn)())((!10)1(xxxfnnn，其中)(00xxx，10。而10000)()1()()]([)()(nnnnxxxxxxxxxxx，故)(xRn1000)1()()1))(((!1nnnxxxxxfn，10，称为泰勒公式的柯西型余项。特别地，当00x时，柯西型余项变为：)(xRn1)1()1)((!1nnnxxfn，10。