2012年高三数学一轮复习资料第三章-基本初等函数(Ⅱ)第1讲-----弧度制与任意角的三角函数

-1-第1讲弧度制与任意角的三角函数★知识梳理1．任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角的终边在第k象限，则称为第k象限角；终边相同的角所有与终边相同的角连同在内构成集合为360,SkkZ2．弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad（弧度）的角.角度与弧度的互化公式：1rad180（）57.35718'；1180rad3扇形的弧长公式：lr（扇形的圆心角为弧度，半径为r）；扇形的面积公式：S21122lrr4．任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点(,)Pxy，设(0)OPrr则sinyr；cosxr；tanyxcot,sec,cscxrryxy5．三角函数在各象限的符号：sin上正下负横轴零，cos左负右正纵轴零，tan交叉正负横轴零．6．三角函数的定义域三角函数定义域xysinRxycosRxytanZkkxx,2xycotZkkxx,xysecZkkxx,2-2-xycscZkkxx,★重难点突破1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。2.难点：确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算.(1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。问题1：若α是第三象限角，试求α2、α3的范围.点拨：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定α2、α3的范围，再进一步判断α2、α3所在的象限.：∵α是第三象限角∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)(1)k·180°+90°＜α2＜k·180°+135°(k∈Z)当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜α2＜n·360°+135°当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜α2＜n·360°+315°∴α2为第二或第四象限角.(2)k·120°+60°＜α3＜k·120°+90°(k∈Z)当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜α3＜n·360°+90°(n∈Z)当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜α3＜n·360°+210°（n∈Z)当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜α3＜n·360°+330°(n∈Z)∴α3为第一或第三或第四象限角.（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。问题2.一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝12AB，在Rt△AMO中求AM.解：设扇形的半径为Rcm.∠AOB=αrad.-3-据题意121422RaRR解之得21R过O作OM⊥AB交AB于M.则AM＝BM＝12AB.在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1故∠AOB＝2rad.该AB的长为2sin1厘米.★热点考点题型探析考点1角的概念问题题型1:终边相同的角的表示方法［例1］写出(0)yxx所夹区域内的角的集合。【解题思路】任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.解：当终边落在(0)yxx上时，角的集合为|45360,kkZ；当终边落在(0)yxx上时，角的集合为|45360,kkZ；所以，按逆时针方向旋转有集合：|4536045360,SkkkZ．【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可．题型2:象限角的表示.［例2］已知角是第二象限角，求：（1）角2是第几象限的角；（2）角2终边的位置。【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论k值确定象限角.解析∵18036090360kk，∴90180245180kk；当k为偶数时，2在第一象限，当k为奇数时，2在第三象限；即：2为第一或第三象限角。∵360360221803602kk，∴2的终边在下半平面。【名师指引】已知所在象限，求*()nNn所在象限问题,一般都要分n种情况进行讨论．【新题导练】1．设M＝｛小于90的角｝，N＝｛第一象限的角｝，则MN＝（）A、｛锐角}B、｛小于90的角｝C、｛第一象限的角｝D、以上都不对解析：D［小于090的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边在第-4-一象限的角，所以MN是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角］2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．解析:372,12,348,7083．已知{|180(1)45}kk，判断所在的象限．解析：在第一象限或第二象限［∵00{|180(1)45}kk，∴可设00180(1)45,kkkZ，若2kn，则00218045,nnZ，若21kn，则002180135,nnZ故在第一象限或第二象限］考点2弧度制与弧长公式题型1:角度制与弧度制的互化例3.（1）设0012570,750，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限．（2）设1237,53，用角度制表示它们，并在00720~0范围内找出与它们有相同终边的所有角．【解题思路】用互化公式.［解析］（1）11955702218066（－），∴1在第二象限22557502218066，∴2在第一象限（2）0031803()10855，与它终边相同的角可表示为00360108,kkZ，由00007203601080k得3321010k，∴2,1k，即在00720~0范围内与1有相同终边的角是00612,252．同理02420且在00720~0范围内与2有相同终边的角是060．【名师指引】角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在[0,2)内找到与该角终边相同的角．［例4］设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆【解题思路】用扇形面积和弧长公式.解析:21(82)4,440,2,4,22lSrrrrrlr【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度．【新题导练】4．0300化为弧度为（）-5-A、43B、53C、74D、76解析．B［05300(300)1803］5．三角形三内角的比是7∶8∶15，各内角的弧度数分别是_______．解析：设三角形的三内角分别是7,8,15xxx，则7815xxx故30x所以各内角的弧度数分别是78,,30302考点3三角函数的定义与三角函数的符号题型1:判断三角函数值的符号例5.确定下列三角函数值的符号(1)cos250°（2）sin（－π4）（3）tan（－672°）（4）tan11π3【解题思路】直接根据三角函数的符号法则确定。解：(1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0(2)∵－π4是第四象限角，∴sin（－π4）＜0(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0(4)tan11π3＝tan（5π3＋2π）＝tan5π3而5π3是第四象限角，∴tan11π3＜0.【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定题型2:由三角函数的定义求值［例6］已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.解析:若角终边过点3,4P，则254532cossin2；若角终边过点3,4P，则5254532cossin2；若角终边过点3,4P，则254532cossin2；若角终边过点3,4P，则5254532cossin2．【名师指引】若点(,)xy是角α终边上异于原点的一点，求角α的三角函数值只需用定义即可.-6-【新题导练】6.(佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，角的顶点原点O，始边在y轴的正半轴、终边经过点)4,3(P.角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且2tan，则POQcos的值为A．55B．25511C．25511D．55解析：D7.(2008·深圳市高三年级第一次调研考试)若π02，则点(cos,sin)Q位于（）A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]直接根据正弦函数、余弦函数在第四象限的符号判定.选D．★抢分频道基础巩固训练1．已知角的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33，则角的最小正角是（）A、56B、23C、53D、116解析．D［角在第四象限且2cos33tan23sin3］2．若是第二象限的角，且|cos|cos22，则2是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角解析C22,(),,(),2422kkkZkkkZ当2,()knnZ时，2在第一象限；当21,()knnZ时，2在第三象限；而coscoscos0222，2在第三象限；3已知角的终边与函数)0(,0125xyx决定的函数图象重合，求sin1tan1cos=yPQox-7-解析:在角的终边上取点1255(12,5),13,cos,tan,sin131213Pr故sin1tan1cos=77134.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）已知35cos，且角在第一象限，那么2在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：B32225242coskk，4242kk故2在第二象限.5.(2008广东省佛山市普通高中高三教学质量检测)如图A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限.C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为34,55，△AOB为正三角形.（1）求sinCOA；（2）求cosCOB.[解析]（1）因为A点的坐标为34,55，根据三角函数定义可知4sin5COA（2）因为三角形AOB为正三角形，所以060AOB，4sin5COA，3cos5COA，所以cosCOB=0cos(60)COA00coscos60sinsin60COACOA=3143343525210.［点评］该考题主要考查三角函数定义与和差公式.综合拔高训练6.在扇形AOB中，90AOB°，弧AB的长为l，求此扇形内切圆的面积．解：设扇形AOB所在圆半径为R，此扇形内切圆的半径为