TJ4-1向量组及其线性组合

第四章向量组的线性相关性3.1向量组及其线性组合…………….………..……….2学时3.2向量组的线性相关性………………………...…….2学时3.3向量组的秩……………..…………………………...2学时3.4线性方程组解的结构…..……………………..........2学时3.5向量空间本章总结…………………………….……..…….....1学时（教学计划：9学时）教学目标与教学要求：1、理解向量的概念；熟练掌握向量的加法和数乘运算；2、了解向量组的线性相关、线性无关、向量组的秩等。3、掌握求向量组的极大无关组和矩阵的秩的方法；4、熟练掌握用矩阵初等行变换的方法求线性方程组的一般解和其导出组的基础解系。重点：求向量组的秩；向量组线性相关与线性无关的判别.线性方程组的解的结构。本章重点与难点：难点：极大无关组与向量组的秩的理解；线性相关的判定.主要内容(2学时)第1节向量组及其线性组合一、n维向量的基本概念二、向量组的线性组合（重点）三、向量组间的线性表示一、n维向量的基本概念1、n维向量的概念(,)xy平面坐标:(,,)xyz空间坐标:12,,...,.ninninaaania个有次序的数所组成的数组称为，这个数称为该向量的，第个维向量个分量第为个分量数称分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量，本书只讨论实向量。n维实向量12231(,,,())iinni123(,,,,)nn维复向量2、n维向量的表示iaai表示向量的第个分量12(,,...,)Tnaaa,,,nab维向量写成一列，称为.(也即列矩列向阵),通常用量等表示,如12naaaa,,,,TTTTnab维向量写成一行，称为.(也即行矩阵行向量)，通常用表示如12(,,,)Tnaaaa一般指列向量3、特殊向量及向量的相等零向量:所有分量均为0的向量称为0向量例如211300,000000(0,0,...,0)T1212:(,,...,)(,,...,)TnTnnaaaaaaaa负向量设维向量,则负向量1212:(,,...,),(,,...,).(1,2,...,)TTnniinaaaabbbbababin向量相等设维向量则向量说明：向量的相等可看作为矩阵相等的特例。1122(,,...,)Tnnababab12(,,...,)()TnkkakakakR向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算1212(,,...,),(,,...,).TTnnnaaabbb设维向量4、向量的线性运算1122(,,...,)Tnnababab()向量的加法即为各对应分量之和所组成的向量向量的加法：向量的数乘：向量是特殊的矩阵，向量的运算按矩阵运算法则进行.所有n维实向量组成的集合，连同定义的向量线性运算，称为实n维向量空间。1{|}RxxR5、实n维向量空间nR记作:1212{(,,...,)|,,...,}TnnxxxxxxR2{(,)|,},TRxyxyR.ox即实数集,几何上表示轴例如：3{(,,)|,,},TRxyzxyzR.xoy几何上表示坐标平面即空间直角坐标系.注意：实n维向量空间必须对向量的加法、数乘运算封闭.121251(2,4,1,1),(3,1,2,),232()0,.TT例设如果向量满足求向量解：根据已知条件，有123220121(32)2所以123235(2,4,1,1)(3,1,2,)22TT335(3,6,,)(3,1,2,)222TT1(6,5,,1)2T111212122212nnmnmmmnaaaaaaAaaa12(,,...,)n6、矩阵与向量组的关系若干同维数的列向量(或行向量)组成的集合，叫做向量组.结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.12,,...,.nA向量组称为矩阵的列向量组12,,,,mmnnm反过来，个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵.12(,,,)mA111212122212nnmnmmmnaaaaaaAaaa12TTTm12,,...,.TTTmA向量组称矩阵的行向量组为12,,,TTTmmnmn反过来，个维行向量所组成的向量组构成一个矩阵12TTTmB二、向量组的线性组合（重点）1、线性方程组的向量形式1122.....nnaxaxaxb12(,,...,)nAaaa12:,,,...,.nbaaa启示方程组是否有解取决于是否由线性表出11112211211222221122.............nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb12,...jjjmjaaaa12...mbbbb(1,2,...,)jn12(,)(,,...,,)nBAbaaab2、线性组合与线性表出说明：1122121212:,,...,...,...,mmmmmAaaakkkAkkkkakaka给定向量线性组，对于任何一组实数，，，表达式称为向量组的一个，，，称为这个线性组合组合的系数.(1)0.向量可由任一向量组线性表示s00002112121122:,,...,,...,mmmmAaaabkbbkakakaAkk给定向量组和向量如果存在一组实数，，，使向量能由向量组线性表示得称（线性表出）.120010jjnaaaaa(2)一向量组中的每一向量都可由该向量组线性表示.121231000100001()(,,,)(,,...,),(,,,...,),...,(,,...,).TnTTTnnaaan任一维向量都可由维向量组线性表示12(,0,,0)(0,,0,,0)...(0,0,,)TTTnaaa1122.nnaaa也称为n维单位向量组．12,,,n1231232(2,1,4,1),(1,2,3,4),(2,1,2,5),(2,1,5,4).,,?TTTTaaabbaaa例设问是否可表为向量组的线性组合123:,,,kkk解关键是能否找到一组数112233kakakab使1232122121143251454kkk即123123123123222214325454kkkkkkkkkkkk即非齐次线性方程组是否有解.21221211(,)43251454BAb121105000569024512110100002300011()3,()4,()(),.RARBRARB故该方程组无解123123,,,,baaabaaa不能表为的线性组合,即不能由线性表出.121122:,,...,...nnnbAaaaaxaxaxb启示:向量能否由向量组线性表出,取决于线性方程组是否有解.12()(,,...,)nRARaaa:()()?RARB是否有解12()(,,...,,)nRBRaaab3、线性表示的判定定理（P83-TH1，重点）12112212121212,,...,......(,,...,)(,,...,,)(,,...,)(,,...,,)nnnnnnnbAaaanaxaxaxbAaaaBaaabRaaaRaaab设向量可由向量组：线性表出元线性方程组有解矩阵的秩等于矩阵＝的秩，即1212(,,...,)=(,,...,,)nnRaaaRaaab即()(,)RARAb1122......nnbkakaka1122......nnnaxaxaxb元线性方程组有解12:,,.....,,nkkk证存在一组实数使得12123(4,3,1,11)(4,3,0,11)(1,2,1,5)(2,1,1,1)TTTTbbaa例判断向量组与是否各为向量组与的线性组合.若是,写出线性表示式.121124213=(,,)1115111Baab解:1212(,)=(,,)(1,2).iRaaRaabi解:也即检验是否成立12405503309912401100000010201100000012121(,)(,,)2,RaaRaab112,.baa因此可由线性表示122,1kk唯一解1122baa122124213(,,)1105111Baab12405503409912401100100012(,)2,Raa212,.baa因此不能由线性表示122(,,)3,Raab12122(,)(,,),RaaRaab12122(,)=(,,).RaaRaab再检验是否成立1231234(P84-1)(1,1,2,2)(1,2,1,3)(1,1,4,0)(1,0,3,1),.TTTTaaabbaaa例例设向量,,,证明能由向量组,,线性表示，并求出表示式123111111210=(,,,)21432301Baaab解:123123(,,),(,,,).AaaaBaaab解:检验矩阵的秩是否相等111101210121012111110121000000001032012100000000(()2,RARB）123.baaa向量能由向量组,,线性表示13233221xxxx＝同解方程组＝1233221xcxcxc通解为112233baxaxax向量123(32)(21)cacaca()c为任意实数1231cbaaa如时，1202cbaa时，1212:,,...,,,...,.,mlAaaaBbbbBABA设有两个向量组及向量组:若向量组的每个向量都能由向量组可由向量向量组线性表示则称组线性表示.三、向量组间的线性表示1、向量组间的线性表示1212:,:,.AaaBbb向量组与向量组等价1212:(1,0),(0,1).:(1,1),(1,1).TTTTAaaBbb例向量组112,baa1121(),2abb,AB若向量组与向量组能相互线性表示则称这两个向量组等价2121()2abb212.baa1122...jjjmjmbkakaka2、向量组间线性表示的矩阵描述1212,,...,:,,...,smBbbbAaaa设向量组:能由向量组线性表示12(1,2,...,),,,...,jjjmjbjskkk即对每个向量存在数,使1212(,,,)jjmmjkkaaak1112121222121212(,,...,)(,,...,)sslmmmmskkkkkkbbbaaakkk从而:K线性表示的系数矩阵1212(,,...,),(,,...,),mlAaaaBbbb记矩阵＝矩阵11121212221