“读考纲谈复习”之2012考研数学概率之边缘概率密度和条件概率密度

“读考纲谈复习”之2012考研数学概率之边缘概率密度和条件概率密度万学海文2009、2010、2011连续三年以解答题的形式考查了边缘概率密度和条件概率密度，所占分值为11分，所以边缘概率密度和条件概率密度是考试的重点之重点。但是从考生的做题情况和得分情况来看，考生对于这部分的内容掌握的不是很好。计算边缘概率密度时，需要用到高等数学中的分段函数的积分。对于边缘概率密度，一定要正确确定积分的上下限，同时需要确定边缘概率密度取非零值时的范围。万学海文数学钻石卡考研辅导专家们，在此为广大2012年的考生们在此做一下详细分析。设(,)XY为连续型随机变量，概率密度为(,)fxy，则X的边缘概率密度为()(,)Xfxfxydy.Y的边缘概率密度为()(,)Yfyfxydx.边缘概率密度是一元函数。以X的边缘概率密度)(xfX为例，它是自变量x的一元函数，所以)(xfX的表达式中不能出现其它的自变量。一般(,)fxy是分区域的，所以)(xfX也是分段函数，它的分段点是有具体数值来表示的。求X的边缘概率密度)(xfX，即对每一个固定的x，做平行于y轴的直线，直线与(,)fxy非零值区域交点的纵坐标分别作为积分的上下限，积分限是x的函数或者具体数值。考生掌握住这种方法，然后做相应的题目进行巩固，这类题目拿到满分是非常轻松的。边缘密度已经计算出来的，接下来计算条件概率密度。对于条件概率密度，考生要先理解其定义，然后才能准确计算。条件概率密度的理解很多同学存在误区，第一个误区：认为是条件概率密度是一个二元函数；第二个误区：认为条件概率密度始终存在，没有任何附加条件。这都是典型的错误，考生非常容易犯的错误.主要是对条件概率密度的定义没有理解。条件概率密度的定义:对于给定的实数x，边缘概率密度()0Xfx，则称(,)()()YXXfxyfyxfx为在条件Xx下Y的条件概率密度.根据定义知，第一个：条件概率密度存在是有前提的，就是相应的边缘概率密度()Xfx取非零值时，条件概率密度()YXfyx才有意义；第二个：条件概率密度在Xx时给出的，所以x是给定的实数，将x看成是一个具体的数值，条件概率密度()YXfyx是一元函数，自变量是y.条件概率密度取非零值的范围确定是非常关键的，它其实是计算边缘概率密度()Xfx的积分上下限。下面通过具体的题目给出边缘概率密度和条件概率密度的具体计算步骤设二维随机变量),(YX的概率密度为.,0,20,10,31),(2其他yxxyxyxf(I)求)(xfX，)(yfY；(II)求)(xyfXY，)(yxfYX.解：(I)当10x时，xxdyxyxdyyxfxfX322)31(),()(2202，（对每一个固定的x，做平行于y轴的直线，直线与(,)fxy取非零值区域交点的纵坐标分别作为积分的上下限，则积分下限是0，积分上限是2，）X的边缘概率密度.,0,10,322)(2其他xxxfX同理，当20y时，ydxxyxdxyxfyfY6131)31(),()(102，Y的边缘概率密度.,0,20,6131)(其他yyyfY(II)当20y时，其他,010,226)(),()(2xyxyxyfyxfyxfYYX.当10x时，其它,010,263)(),()(yxyxxfyxfxyfXXY......................................................