《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(53)

一、选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选择A.2．（2011大纲全国卷）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3【答案】A【解析】由ab＋1得ab＋1b，即ab，而由ab不能得出ab＋1；因此，使ab成立的充分不必要条件是ab＋1.故选择A.3．命题“若函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga20，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga20，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数【答案】A【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内不是减函数．故选择A.4．(2011上海卷·理)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为()A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则An＋1An＝an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an为常数，即A2A1＝a3a1，A3A2＝a4a2，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则An＋1An＝an＋2an＝q，从而{An}为等比数列．故选择D.5．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件而不是充分条件；[来源:Zxxk.Com]⑤r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤【答案】B【解析】s是r的必要条件，q是s的必要条件，①正确，排除C、D.因为q是r的充分条件，q是s的必要条件，所以s是r的充分条件，又因为s是r的必要条件，所以s是r的充分必要条件，⑤错，排除A.故选择B.二、填空题6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是个．【答案】1【解析】原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．7．(2011陕西卷·理)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝.【答案】3或4【解析】由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.8．下列小题中，p是q的充要条件的是.①p：m－2或m6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．②p：f－xfx＝1；q：y＝f(x)是偶函数．③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.【答案】①④【解析】在①中，函数有两个零点，则Δ＝m2－4m－120，解得m6或m－2，所以p是q的充要条件；②中p是q的充分不必要条件；③中p是q的既不充分也不必要条件；④中p是q的充要条件．三、解答题9．设T＝x＋y＋xy，其中x，y为非零实数，则命题“若1x＋1y0，则T≠0”的否命题是否正确？为什么？【解析】否命题：若1x＋1y≤0，则T＝0，不正确．这是因为：若1x＋1y≤0，∴x＋yxy≤0，即x＋y＝0或x＋y与xy异号．此时T＝x＋y＋xy不一定为0.10．指出下列命题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”中选一种)，并写出判断过程．(1)p：a2b2，q：ab.(2)p：{x|x－2，或x3}，q：{x|x2－x－60}．(3)p：a与b都是奇数，q：a＋b为偶数．(4)p：0m13，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．【解析】(1)∵a2b2ab，又aba2b2，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵{x|x－2，或x3}＝R，{x|x2－x－60}＝{x|－2x3}，∴x∈{x|x－2，或x3}⇒/x∈{x|－2x3}．而x∈{x|－2x3}⇒x∈{x|x－2，或x3}．∴p是q的必要而不充分条件．(3)因为a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(4)当m＝0时，方程化为－2x＋3＝0，仅有一个实根x＝32.当m≠0且Δ＝4－12m0，即m13且m≠0时，方程有两个不相等的实数根，设两根为x1，x2，若0m13时，方程有两个不相等的实数根，且x1＋x2＝2m0，x1x2＝3m0，故方程有两个同号且不相等的实数根．即0m13⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实数根，则有Δ＝4－12m0，x1x2＝3m0⇒0m13.即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根⇒0m13，所以p是q的充要条件．11．已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)内是增函数，a，b∈R.[来源:Z§xx§k.Com](1)证明命题：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中的逆命题是否正确？并证明你的结论．【证明】(1)由a＋b≥0，得a≥－b.又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)．同理由b≥－a，[来源:学科网]得f(b)≥f(－a)故f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题正确.逆命题：如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[来源:学#科#网]证明：假设a＋b0，则a－b.由f(x)在(－∞，＋∞)上递增，得f(a)f(－b)．同理得f(b)f(－a)．即f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)这与已知条件矛盾．故判断(1)中逆命题成立．[来源:Z+xx+k.Com]12．若f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1，p2为常数，且f(x)＝f1x，f1xf2x，f2x，f1xf2x(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1，p2表示)；(2)设a，b为两实数，ab且p1，p2∈(a，b)，若f(a)＝f(b)，求证：f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为b－a2(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)．【解析】(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32.①若p1＝p2，则①⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2，记g(x)＝|x－p1|－|x－p2|.当p1p2时，g(x)＝p1－p2，xp2，－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，p2－p1，xp1.所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32.当p1p2时，g(x)＝p1－p2，xp1，2x－p1－p2，p1≤x≤p2，p2－p1，xp2.所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－p1≤log32.综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32.(2)分两种情形讨论．①如果|p1－p2|≤log32，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b)，则由f(a)＝f(b)及ap1b易知p1＝a＋b2，再由f1(x)＝的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－a＋b2＝b－a2.②当|p1－p2|log32时，不妨设p1p2，则p2－p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1－x3p2－xf2(x)，从而f(x)＝f1(x)．当x≥p2时，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p23log32·3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．当p1xp2时，f1(x)＝3x－p1及f2(x)＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1(x)与f2(x)图像交点的横坐标为x0＝p1＋p22＋12log32.①显然p1x0＝p2－12[(p2－p1)－log32]p2，这表明x0在p1与p2之间．由①易知f(x)＝f1x，p1≤x≤x0，f2x，x0x≤p2.综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝f1x，a≤x≤x0，f2x，x0x≤b.故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋log32.②故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－12(p1＋p2－log32)＝b－a2.综合①②可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为b－a2.