《丁老师辅导初中数学》精彩片段欣赏(6)

“母子相似”基本图图（a）是在相似三角形中一个极为常见的图形。它在我这里可以说是一个重量级的基本图，下面我就把这个基本图向你做一个隆重的推介。∵∠1=∠B，∠A=∠A，∴△ACE∽△ABC。由于这两个三角形有一个公共角且有一条公共边，△ACE完全被包含在△ABC内，故有人形象地把它们称为“母子相似”。请注意这两个三角形的位置关系，它们有一个公共角∠A，还有一条公共边AC，另外两条边AE和AB在同一条直线上，由ABACACAE得，AC2=AE·AB。即公共边是在同一条直线上的另外两条边的比例中项。由于两个三角形有一个公共角，只要再有另一对角对应相等，两个三角形便会相似。所以，像这样的相似三角形出现的频率那是相当地高。这是只要做过足够数量的几何题的人都会产生的共识。在这个基本图中，只要一看到∠1=∠B，脑子里便会跳跃式地出现AC2=AE·AB的结论，反过来也是如此。只要题目要求的是证明∠1=∠B，瞬间便会想到，只要证明AC2=AE·AB即可。因此，对于熟悉这一基本图形的人来说，大大加快了找到某些命题的证明思路的进程，从而节省了大量的时间，所以，有时对于你冥思苦想了半天而仍不得要领的题目，而老师却能够迅速地找到正确的思路，你可能会感到非常惊讶，但其实这其中的原因，便得益于老师对这种基本图的熟悉程度。我相信，过不了多久，你也会成为解题高手，令你周围的同学惊讶不已的事情也会经常发生呢！不过，首先你要切实弄清这一基本图中各边角之间的关系以及由此得出的结论。我们不妨就把图（a）叫做“母子相似”基本图，我给这个基本图写的推介辞为：母子相似连心，比例中项现身。下面我们通过几个例子来看一下这个基本图是如何发挥作用的。【例1】如图，已知⊙O,P为⊙O上一点，以P为圆心作⊙P，⊙P与⊙O交于A、B两点，D为⊙O上另一点，连结PD交AB于点C，连结PA。求证：PA2=PC·PD解析：你看，说曹操曹操就到，由要证的结论，我们马上会从图中看到，三条线段PA，PC，PD所涉及到的两个三角形与“母子相似”基本图中的两个相似三角形的位置关系一模一样，即△PAD与△PCA有一条公共边PA和一个公共角∠APC，PC、PD在公共角的一边上，因此，马上得到思路：只需证明∠PAC=∠D，而∠PAC与∠D都是⊙O中的圆周角，故只要这两个角所对的弧相等即可。再考虑到已知条件中，“P为⊙P的圆心”，故连结PB，则PA=PB，∴弧PA=弧PB，∴∠PAC=∠D，又∵∠APC=∠DPA，∴△PAD∽△PCA，∴PAPDPCPA，∴PA2=PC·PD。【例2】如图，已知；△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，求证：FD2=FB·FC。解析：看到要证的结论，再观察一下图形，马上会产生一个感觉：曹操又来了！标准的“母子相似”基本图的类型，这次不但曹操本人来了，而且还携家带口，你看，本例中不但有Rt△斜边上的高，还有斜边上的中线，这不都是我们讲过的基本图吗！这次可有了咱们的用武之地了！瞬间便可得出思路：只需证明∠1==∠2，而由CD⊥AB及E是AC中点，马上又会想到下面的结论：∠1==∠A，∠A==∠3，而∠3==∠2，∴∠1==∠2。这一系列结论的得出之迅速，简直令人目不暇接！有一句话怎么说来着，叫做“说时迟，那时快”，一个没留神，最后的结论已经出来了，甚至快的让人有点自我崇拜，经常看到武侠小说或电视剧里有这样的场面，那些世外高人，在对手还没来得及反应的情况下，早以迅雷不及掩耳的速度将其击落马下！那种畅快淋漓的感觉，今天终于也让咱体会了一把，哎，没办法，谁让咱无意间也变成了高人呢！不过，咱可别忘了本，这全得益于那些基本图的熟练掌握，基本图万岁！丁老师万万岁！你看我，光顾自我陶醉了，倒把正事给忘了，咱还是把这道题的证明过程写下来吧，什么？你要自己来完成？那好吧，我也就不费事了。【例3】如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于P。求证：PD2=PC·PB。解析：，又是一道求证一条线段是另两条线段的比例中项的问题，但与前面的例子不同的是，这里的三条线段PD，PC，PB都在同一条直线上，根本构不成三角形，不过，当看到PE是AB的垂直平分线这一条件时，我想，只要是丁老师的学生，肯定都会不约而同地首先做一件事情，那就是连结PA，并得出结论：PA=PD。故只需要证明PA2=PC·PB即可。思路走到这一步，我们是不是有这样的一种感觉，曹操这次没有光明正大的来，而是经过了一番化妆和修饰，他不但脱下了红袍，又割了长须，而且还穿了件小马甲出来了！差点认不出来他了呢！不过还好，因为我们太熟悉他了，这次我先不说话，先由你来判断，证出什么就可以了呢？对了，只要证明∠3==∠B即可。我发现你小子又长能耐了，再练上个十年八载的n1，没准你还要当我的师傅了呢！那咱们共同来证明一下吧，∵PA=PD，∴∠4=∠2+∠3，而∠4=∠1+∠B，∴∠1+∠B=∠2+∠3，∵∠1=∠2，∴∠B=∠3，在△PAC和△PBA中，∵∠B=∠3，∠APC=∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPBPCPA，∴PA2=PC·PB，∵PA=PD，∴PD2=PC·PB。如果有机会你给另一个同学出了这道题，他冥思苦想了三天三夜都证不出来，再问到你的时候，你却如此迅捷地给他证了出来，你的同学定会张大了嘴巴，惊讶地说：“啊？就这么简单啊！”我告诉你怎么回答，请你先闭了眼睛，然后把头一仰，一脸不屑地告诉他说：“你以为呢！简直是小菜一碟，要不是刚才那支钢笔没了墨水，比这速度还要快几十秒呢！这叫会了不难，难了不会，跟我在一块儿呆时间长了，长学问去吧你！”想来，那感觉一定会很爽的吧！还想爽不，那咱还接着来……