Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用

·1·Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用摘要：Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及处理分子结构中得到广泛的应用。本文首先着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。最后介绍了Virial定理及Hellmann-Feynman定理的推广及应用。研究得知Virial定理及Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Feynman也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的能量计算公式。关键词：Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用TheapplicationsofVirialandHellmann-FeynmantheoremAbstract:TheVirialtheoremandHellmann-Feynmantheoremwerewidelyappliedintheatomicandmolecularphysics,theparticlephysicsandthestructureofmolecules.Inthispaper,theVirialtheoremandHellmann-Feynmantheoremwereintroducedandproved.Furthermore,someexampleswererecited.Inaddition,thegeneralizationoftheVirialtheoremandHellmann-Feynmantheoremwasalsogiven.Fromourstudy,werealizethattheVirialtheoremandHellmann-Feynmantheoremwereusedindealingwithenergyaveragevaluesandthecertificationofothertheorems.Bytheoperatorcommutationmethod,weareabletoobtainthenewenergycalculationformulas.Keywords:Virialtheorem;Hellman-Feynmantheorem;Generalization;Applications·2·引言当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相当一部分自然规律的一贯认识。正如Feynman所说的那样，“要理解这个世界上我们所见到的几乎所有现象的背后，自然界真正如何运行，我们非违背常识不可”。其中，包括许多量子力学的基本定理，它们的应用极大地简化了计算，减少了运算量。本论文着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。当然，文章以实例列举了它们在计算力学量平均值以及分析体系的能级结构中的重要作用，并进一步探究两定理的推广形式，讨论它们的应用。1.定理的证明量子力学中的体系存在一种特殊的状态——定态。在该态下，体系的一切力学量的平均值和概率分布都将不随时间而改变。而在定态条件下，平均值随时间的变化遵循一个特殊的定理，即Virial定理。1.1Virial定理1.1.1广义的Virial定理我们设粒子处于势场()Vr中，其Hamilton量可表示为2ˆ()2pHVr（1）力学量rp的平均值随时间的变化将遵循Ehrenfest关系，即ˆˆˆˆ[,]dirprpHdt（2）我们对（2）式右边进行如下求解ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]xyzrpHxpHypHzpHˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,][,][,]xxyyzzxHpxpHyHpypHzHpzpH不难求出ˆˆ[,]xixHp，ˆˆ[,]xVpHix，其余项类似，于是222ˆˆˆˆˆˆ[,]xyziViViVrpHpixpiypizxyz2ˆˆ()ipirV·3·代入（2）式，可得2ˆˆˆˆdiirppirVdt21ˆˆˆˆdrpprVdt（3）对（3）式，我们已经知道，在定态下，任何力学量的平均值都不随时间变化，即有ˆˆ0drpdt（4）21ˆˆ0prV（5）结合动能平均值2ˆˆ2pT，可得Virial定理表达式为ˆˆ2TrV（6）1.1.2狭义的Virial定理设粒子所处势场为n次齐次函数(,,)Vxyz，即有(,,)(,,)nVxyzVxyz（7）简记为()()nVrr，则此时的Virial定理可表示为()()rVrnVr（8）对线性谐振子，221()2Vrmr，即为2n的齐次函数，于是有TV；对库仑场，12()rqqVrer，即为1n的齐次函数，于是有12TV。1.2Hellmann-Feynman定理束缚态下，设体系的Hamilton量ˆH中含有某参量，nE为ˆH的本征值，对应的归一化本征函数为n，其中n为一组完备的量子数。按上述假设，我们有ˆnnnHE（9）（7）式两边同时参量求偏导，则有·4·ˆˆnnnnnnEHHE整理上式，我们得到ˆˆ()nnnnEHEH（10）再对（8）式两边左乘左矢n，可得ˆˆ()nnnnnnEHEH进一步得到ˆˆnnnnnnnnnnEHEH（11）对（9）式左边结合ˆH为厄米算符进行化简，有ˆnnnnnEHˆnnnnnEHnnnnnnEE0于是，我们得到ˆ0nnnnnEH而nE与态函数n无关，即ˆnnnEH或简记为ˆnnEH（12）上式（12）即为Hellmann-Feynman定理，简称H-F定理。·5·2.两定理之间的联系Virial定理和Hellmann-Feynman定理之间有着较为紧密的联系，我们可以从Hellmann-Feynman定理推导出Virial定理。由（10）式我们知道Hellmann-Feynman定理向我们表示了能级对某参量的偏微分nE与Hamilton量对该参量的偏微分在态n下的平均值ˆnH之间的关系。在坐标表象中，体系的Hamilton量22ˆ()2HVr，我们取为参量，有2ˆ2ˆnnnHT（13）由Hellmann-Feynman定理，2ˆnnET（14）在动量表象中，体系的Hamilton量2ˆˆˆ()2pHVr，其中ˆrip仍取为参量，有ˆˆ1ˆˆnnnnHVVrrVr（15）同理可知1ˆnnErV（16）由（12）、（14）两式可得ˆˆ2nnTrV（17）此即在n态下的Virial定理。分析上述求解我们知道，Virial定理可认为是Hellmann-Feynman定理的特殊形式，但有时运用Virial定理求解问题较为简洁，有时只能运用H-F定理，有时却要将两者结合起来运用。·6·3.定理的应用例1.质量为的粒子在中心力场()sVrr（其中0,0s）中运动，证明：（1）存在束缚态的条件为02s;（2）在0E存在无数多个束缚态能级.解：（1）根据狭义的Virial定理（8）式，可知2TsV（18）粒子能量（以动能平均值表示）2(1)ETVTs（19）动能平均值T0，而束缚态要求能量0EV，即有210s（20）结合题干0s，可得02s（21）（2）由（18）式关系，粒子能量（以势能平均值表示）(1)2sETVV1(1)2ssr（22）当r很大且rr，r附近存在无数个r使得0E，即在0E存在无数多个束缚态能级，证毕.例2.质量为的粒子在三维幂势()nVrr中运动，试求能量本征态中动能平均值和势能平均值的关系，并讨论存在束缚态的条件。解：该粒子的Hamilton算符22npHr（23）设存在束缚态，且波函数可归一化，根据Virial定理2TrVnV（24）可知动能平均值和势能平均值之间的关系为·7·2nTV（25）粒子能量ETV22nV2nTn（26）将动能平均值和势能平均值分别用能量E表示，可得2nTEn（27）22VEn（28）当0时，0V即有0V，而T总是正值（0T），总能量E也为正值，即202n且02nn（29）易得0n①当0时，0V即有0V，而T总是正值（0T），对于束缚态，总能量E需满足max0EV（结合前提势能条件0V），即202n且02nn（30）解得20n整理上述情况，得00020nn（31）例3.三维各向同性谐振子，总能量算符为2222222112222pHrr，对于2(,,)zHll的共同本征态21()(,)()(,)rnlmnllmnllmRrYurYrr求其离心势能和径向动能平均值22rlnp、222rnlmlr.①对于束缚态，需满足maxEV，故0n为可能值.·8·解：三维各向同性谐振子能级3()2NEN（其中2rNnl）（32）谐振子的Hamilton算符22222221(1)1222llHrrrrr（33）根据H-F定理，可知22(21)12nEHlllr②（34）2rNnlnE对l和rn求偏导结果应相同，即有nNEEll（35）将（1）式代入（3）式，结合（4）式，可得22(21)12lr（36）于是我们得到如下结果212(21)rl（37）该谐振子的离心势能应为222lr，对应平均值2222(1)1(1)22(21)lllllrrl（38）谐振子的径向动能平均值应为222222NrEplr132(1)2221llNl（39）②这里我们省略了标示量子数的下标rnlm或Nlm.·9·例4.质量为的粒子在中心力场中运动，()(2,/0)Vrr.试利用H-F定理及Virial定理分析能级构造式对于、、的依赖关系.解：此中心力场恰为狭义Virial定理中的中心力场形式，根据狭义Virial定理，对于该束缚定态，存在2TV（40）即分别有2VT（41）2TV（42）两者分别对应的能级2ETVT（43）22ETVV（44）将动能平均值T、势能平均值V以能级E表示2TE（45）22VE（46）粒子Hamilton量为222Hr（47）选定某一确定值，由H-F定理，在束缚态下，有12(2)EHrVE（48）222221122(2)EHTE（49）222222222(2)EHTE（50）对E求全微分EEEdEddd·10·22(2)(2)(2)Eddd（51）移项并积分，得22(2)(2)(2)dEdddE（52）解得22222EC