XUEHAO-XINGMING-电路中对偶现象的分析

电路中对偶现象的分析1/4电路中对偶现象的分析作者姓名：薄**学号：5*********班级：F*******摘要：本文通过对对偶电路的阐述、举例和研究，探讨对偶现象在对偶元件、对偶定律中的体现以及对偶原理在电阻电路、动态电路中的应用。关键词：对偶电路，对偶元件，对偶定律，对偶原理1引言对偶是电路中普遍存在的特性，通过分析电路的对偶特性，更利于把握电路的特性，方便解题过程和研究过程。同时在研究了一个电路的同时相当于也研究了其对偶电路。2电路中的对偶现象2.1对偶元件2.1.1电阻和电导电阻元件的电压与电流的关系是:𝑢(𝑡)=𝑅𝑖(𝑡)(1)电导元件的电压与电流的关系是:𝑖(𝑡)=𝐺𝑢(𝑡)(2)如果把电压u与电流i互换，电阻R与电导G互换，上述两式可以彼此转换。2.1.2电容和电感电容元件与电感元件是对偶元件，任一时刻t电容的端电压u和元件上的电荷q的关系是𝑞(𝑡)=𝐶𝑢(𝑡);𝑖=𝐶𝑑𝑢𝑑𝑡(3)流过电感的电流i和磁通φ的关系是𝜑(𝑡)=𝐿𝑖(𝑡);𝑢=𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡(4)电荷q和磁通φ，电压u和电流i是对偶物理量，电容C和电感L是对偶参数。2.1.3电压源和电流源（包括独立源和受控源）独立电压源和独立电流源：独立电压源对外输出确定时间函数的电压𝑢𝑠(𝑡)，独立电流源对外输出确定时间函数的电流𝑖𝑠(𝑡)，两者是对偶元件。受控电压源和受控电流源：电压控制电压源满足𝑢2=𝜇𝑢1(5)电流控制电压源满足𝑢2=𝑟𝑖1(6)电压控制电流源满足𝑖2=𝑔𝑢1(7)电流控制电流源满足电路中对偶现象的分析2/4𝑖2=𝛽i1(8)其中，u1和i1是控制量，μ和β，r和g是对偶参数。2.2对偶定律2.2.1基尔霍夫电流定律和电压定律：基尔霍夫电流定律(KCL)：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。对于一个节点有：𝑖1+𝑖2+···+𝑖𝑛=𝑖(9)基尔霍夫电压定律(KVL)：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。对于一个回路有：𝑢1+𝑢2+···+𝑢𝑛=𝑢(10)2.2.2戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理：任何线性含源一端口电阻电路N，就其端口而言，可以用一个电压源uoc与一个电阻R0的串联组合来等效。诺顿定理：可以用一个电流源isc与一个电导G0的并联组合来等效。诺顿定理和戴维宁定理可以进行相互对偶转换，转化过程中保持𝑢𝑂𝐶=𝑖𝑠𝑐𝑅0。由于串联与并联具有对偶关系，并且电压源与电流源，电阻和电导是对偶元件。2.2.3互易定理1和互易定理2互易定理1:对内部不含独立电源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口①和②，如果在端口①的11’施加输入电压us，在端口①的22’可得到输出电流i2；对端口②中22’施加输入电压𝑢̂𝑠，可在端口②的11’得到输出电流𝑖̂𝑠，则有𝑖̂𝑠𝑢̂𝑠=𝑖2𝑢𝑠(11)。互易定理2:对内部不含独立电源和受控电源的线性电阻电路N，任取两个端口①和②，如果在端口①的11’施加输入电流isc，在端口①的22’可得到输出电压u2；对端口②中22’施加输入电压𝑖̂𝑠𝑐，可在端口②的11’得到输出电压𝑢̂𝑠𝑐，则有𝑢̂1𝑖̂𝑠=𝑢2𝑖𝑠(12)。2.3对偶关系在电路理论中，除上述对偶元件和对偶定律外，电路的结构、连接方式、参数、名词、变量及其关系等也存在互相对偶性，电路中常见的对偶关系如表1.1所示。表1.1：对偶关系对偶因素原电路对偶电路对偶元件电阻电导电容电感电压源电流源电路中对偶现象的分析3/43对偶现象的应用3.1对偶现象在电阻电路中的应用如果电路N的网孔方程与电路𝑁̂的节点方程形式相同，各项的系数以及激励的数值相同，则两电路方程的解的数值一定分别相等。如下图所给电路N和电路𝑁̂。列写电路N的网孔方程的矩阵形式:[𝑅1+𝑅2−𝑅2−𝑅2𝑅2+𝑅3][𝑖𝑚1𝑖𝑚2]=[𝑢𝑠1𝑢𝑠2]①(13)列写电路ˆN的节点方程的矩阵形式:[𝐺1+𝐺2−𝐺2−𝐺2𝐺2+𝐺3][𝑢𝑛1𝑢𝑛2]=[𝑖𝑠1𝑖𝑠2]②(14)观察两个矩阵可以发现，将矩阵①中的电阻R换为电导G，网孔电流换为对应的节点电压，电压源换为电流源，即可得到矩阵②。如果两个电路的元件值具有下列关系：𝑅1=𝐺1,𝑅2=𝐺2,𝑅3=𝐺3(15)对偶定律KCLKVL戴维宁定理诺顿定理互易定理1互易定理2对偶参数电压电流阻抗导纳电荷磁通自电阻自电导互电阻互电导对偶电路结构串联并联节点网孔参考节点外网孔割集回路树支连支基本割集基本回路T形电路Π型电路电路中对偶现象的分析4/4以及电源值具有下列关系：𝑢𝑠1=𝑖𝑠1,𝑢𝑠2=𝑖𝑠2(16)则矩阵①与矩阵②的解的值相同，即𝑖𝑚1=𝑢𝑛1,𝑖𝑚2=𝑢𝑛2(17)节点分析与网孔分析作为电路中最为常用的分析方法，也是具有对偶关系的，可以用下表体现。在节电分析中电路变量为参考节点的电压un。网孔分析中电路变量为网孔电流im。节点分析中有：𝑢𝑏=𝐴𝑇𝑢𝑛(𝐾𝑉𝐿)(18)𝐴𝑖𝑏=0(𝐾𝐶𝐿)(19)通过G0电导矩阵可得支路方程：𝑖𝑏=𝐺𝑏𝑢𝑏−𝐺𝑏𝑢𝑠+𝑖𝑠(20)网孔分析中有：𝑀𝑢𝑏=0(𝐾𝑉𝐿)(21)𝑖𝑏=𝑀𝑇𝑖𝑚(𝐾𝐶𝐿)(22)通过R0电阻矩阵可得支路方程：𝑢𝑏=𝑅𝑏𝑖𝑏−𝑅𝑏𝑖𝑠+𝑢𝑠(23)因此，通过对偶性就能从一种分析方法推出另一种分析方法，已知电路N的节点方程或网孔方程，就能得到与之对偶的电路𝑁̂的网孔方程或节点方程，解出一个电路N就相当于也解出了它的对偶电路𝑁̂。3.2对偶现象在动态电路中的应用动态元件电容和电感作为对偶元件，然后将相应的对偶参数互换，就可以实现动态电路的对偶转换，与电阻电路转换的区别主要是动态电路中含有电感、电容元件。同时电感、电容元件也是对偶元件。所以与电阻电路相比多将电容和电感进行对偶转换就可得出对偶电路。在动态电路中，若已知电路N的响应，对于与之对偶的电路𝑁̂，只要给予波形相同的激励，得到的响应与电路N是对偶的。4参考文献[1]乔树通老师,电路基础讲义。[2]陈洪亮，张峰，田社平.，电路基础，高等教育出版社,2008.[3]陈洪亮，张峰，田社平，电路基础教学指导书，高等教育出版社,2007.[4]百度百科关于一些名词的定义。[5]康丽生,康润生,电路中的对偶现象,继电器,2003年第3期。