FLOTRAN数值分析算法

Flotran数值分析算法简述Flotran是ansys软件的一个模块，它主要采用的数值分析算法是有限元素法。现在就把有限元素法做一个系统的介绍。在有限元素法中,用网格将结构划分为若干小块,这些小块称为有限元素，简称有限元。它们可以是三角形、四边形、四面体、六面体或其他形状，易于为计算机记录和鉴别。然后采用分片的连续函数（通常是多项式函数）来描述各元素内的位移场或应力场，并通过每个元素边界上事先规定的一组节点与周围元素相连接，保证必要的连续条件。以节点的广义位移为未知数的称位移法，未知数为广义应力的称力法。两者兼而有之的是混合法。此外，在元素内假设位移场（或应力场）、而在边界上假设应力场（或位移场）的称杂交法。然后应用变分原理得到代数方程组，不同形式的方程组代表不同的结构分析问题。再运用各种数值解法，即可求得所需的结果1.有限元素法的基本思想有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强，形式单纯、规范，解题效能强等优点。从数学上来说,有限元素方法是基于变分原理。它不象差分法那样直接去解偏微分方程,而是求解一个泛函取极小值的变分问题。有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的。采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持,计算精度和收敛性进一步得到保证。有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素。元素与与元素间以“节点”相连。由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量，采用內插法求得元素內任意点的物理量。2.有限元素法的一般步骤。（1）推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示；（2）把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。然后对每个节点和三角形元素按照约定的规则分别进行编号。（3）利用公式，计算出各个三角形元素的系数矩阵。（4）将各个三角形单元的系数矩阵装配成总矩阵，形成有限元方程组，然后利用强加边界条件法对有限元方程组进行修正。（5）利用超松弛迭代法求解有限元方程组，则得到域内各个节点上的函数值。目前各种CFD通用软件的数学模型的组成都是以纳维-斯托克斯方程组与各种湍流模型为主体，再加上多相流模型、燃烧与化学反应流模型、自由面流模型以及非牛顿流体模型等。大多数附加的模型是在主体方程组上补充一些附加源项、附加输运方程与关系式。随着应用范围的不断扩大和新方法的出现，新的模型也在增加。目前采用的数值分析算法有有限体积法(FVM)、有限元素法(FEM)和有限差分法(FDM)。有限体积法（FiniteVolumeMethod）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。由于有限体积法继承了有限差分法的丰富格式，具有良好的守恒性。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。它能像有限元素法那样采用各种形状的网格以适应复杂的边界几何形状，却比有限元素法简便得多，因此，现在主流的商业CFD软件都采用有限体积法。目前国内销售的CFD通用软件PHOENICS、FLUENT、STAR-CD、CFX-TASCflow和NUMECA等都采用有限体积法，值得一提的是FLUENT和CFX均已被ANSYS收购。然而，有限元素法(FiniteElementMethod)也有其优点，它对高阶导数的离散精度高于有限体积法，低速黏性流动与非牛顿流体运动采用有限元素法可以提高精度。有限元素法也更适合流体力学与固体力学相耦合的问题，如气动弹性、振动噪声等，因此在CFD方法中将有其自己的领域。而以固体力学计算为主的著名有限元软件ANSYS中包含着流体力学计算模块，适于合流固耦合计算。国外著名的CFD有限元软件还有适合非牛顿流体计算的POLYFLOW以及具有较强通用性的热流计算软件FIDAP、FLOTRAN、TURB、N3S等(POLYFLOW与FIDAP软件己在1997年为FLUENT公司收购)。有限差分法(FiniteDifferenceMethod)是最早用来解决流体力学问题的离散化方法，也是目前我国流体力学教学的主要方法。有限差分法最主要的优点是便于构造高精度格式，编写程序非常简单。但是有限差分法也有显著的缺点，就是难于使用非结构化网格，所以处理复杂几何边界的问题比较欠缺。不过在纯粹的科学研究中它还占有一席之地，商业软件中很少被使用。FLOW-3D是基于有限差分和有限体积法的商业软件(中国还没有引进此软件)。另外NASA的等机构在航空航天领域开发了一些分块结构化有限差分的软件，使得有限差分法在CFD中的地位有所回升。参考文献[1]樊春.商业CFD软件在实际工程计算中的应用[D].北京大学力学与工程科学系,2010.