gs6定积分的应用

高等数学课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：§6.1定积分的元素法§6.2定积分的几何应用（一）平面图形的面积本授课单元教学目标或要求：1.理解定积分的元素法；会运用元素法将一个量表达成定积分的形式。2．会用定积分的元素法求解：平面图形的面积（包括直角坐标和极坐标的情形）。本授课单元教学目标或要求：1.基本内容定积分元素法的思想方法：(1)根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[,]ab；(2)设想将区间[,]ab分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]xxdx，求出它所对应的部分量U的近似值Ufxdx()(fx()为[,]ab上一连续函数)则称fxdx()为量U的元素，且记作dUfxdx()。(3)以U的元素dU作被积表达式，以[,]ab为积分区间，得Ufxdxab()这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式dUfxdxaxb()()因此，也称此法为微元法。利用元素法求平面图形的面积：的求法极坐标下平面图形面积有两种积分变量的选择积的求法直角坐标下平面图形面:（1）直角坐标：由曲线yfxfx()(())0及直线xa与xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形面积A。第页，共页Afxdxab()其中：fxdx()为面积元素。由曲线yfx()与ygx()及直线xa，xb(ab)且fxgx()()所围成的图形面积A。bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(。其中：[()()]fxgxdx为面积元素。（2）极坐标：设平面图形是由曲线r()及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A，它是极角变化区间为[,]d的窄曲边扇形。A的面积可近似地用半径为r()，中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替，即Ad122[()]从而得到了曲边梯形的面积元素dAd122[()]从而Ad122()第页，共页2.重点：定积分元素法和定积分元素法求平面图形的面积。3.难点：会利用元素法把求平面图形的面积转化为求一个计算定积分的问题；根据所求平面图形的面积的特点，正确选择坐标的类型；根据所求平面图形的面积的特点，正确选择直角坐标下定积分表达式中的积分变量；直角坐标和极坐标间的互相转化。4．例题与解题方法【例1】已知闸门上水的压强p(单位面积上压力的大小)是水深h的函数，且ph(/)吨米3。若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受的水压力P。【例2】计算抛物线yx22与直线yx4所围成的图形面积。【例3】计算心脏线raa(cos)()10所围成的图形面积。本授课单元教学手段与方法：讲授本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题：考虑例1中分别选x和y为积分变量时候，积分表达式有何不同，应该注意些什么问题？作业：10);1(8;6);2(5);2(2279P本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10第页，共页高等数学课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：§6.2定积分在几何上的应用（二）（三）：体积、平面曲线的弧长本授课单元教学目标或要求：1.利用定积分的元素法求体积：的体积平行截面为已知的立体旋转体的体积2.求平面曲线的弧长。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：1.基本内容：体积：（1）旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线yfx()直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积。取x为积分变量，则],[bax，对于区间],[ba上的任一区间],[dxxx，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(xf为底半径，dx为高的圆柱体体积。第页，共页即：体积元素为：dxxfdV2)(所求的旋转体的体积为：dxxfVba2)(（2）平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为x轴，且设该立体在过点ax，bx且垂直于x轴的两个平面之内，以)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为],[ba。立体中相应于],[ba上任一小区间],[dxxx的一薄片的体积近似于底面积为)(xA，高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积元素为dxxAdV)(于是，该立体的体积为dxxAVba)(平面曲线的弧长：（1）直角坐标情形设函数fx()在区间[,]ab上具有一阶连续的导数，计算曲线yfx()的长度s。取x为积分变量，则xab[,],在[,]ab上任取一小区间[,]xxdx，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为dxxfds2)(1弧长第页，共页为sfxdxab12()（2）参数方程的情形若曲线由参数方程xtytt()()()给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成dsdxdyttdt()()()()2222的形式，从而有sttdt()()22（3）极坐标情形若曲线由极坐标方程rr()()给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为xryr()cos()sin()。此时变成了参数，且弧长元素为drrdrrdrrdydxds22222222)()cossin()()sincos()()(从而有srrd222.重点：求几何体的体积：旋转体和平行截面为已知的截面。求平面曲线的长。3.难点：区分所求几何体所属的类型：旋转体和平行截面为已知的截面。将所求的体积的问题成功的转化为定积分的形式，正确写出定积分的上下限和被积函数。把求平面曲线弧长的问题转化为求定积分的问题，正确确定定积分的积分限和被积函数4.例题与解题方法：【例1】求由曲线xhry及直线x0，xhh()0和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体积。【例2】计算椭圆xayb22221所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。【例3】计算曲线yxaxb2332()的弧长。第页，共页【例4】计算半径为r的圆周长度。本授课单元教学手段与方法：讲授本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题：计算摆线的一拱xattyatt(sin)(cos)()102以及0y所围成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积。作业：);4)(1(15;12281P;25;22281P本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2001.10第页，共页